ไม่น่ายาก แต่คิดไม่ออก complex root of a polynimial แนะหน่อยครับ

[milch]

If $a_0\geqslant a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_n>0$ and $w\in \mathbb{C}$ is a root of the polynomial $P(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+...+a_n$, then $\left|\,w\right| \leqslant 1$.

ลอง induction แล้ว ติดอยู่ครับ ช่วยแนะนำหน่อย

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ milch

If $a_0\geqslant a_1\geqslant a_2\geqslant ...\geqslant a_n>0$ and $w\in \mathbb{C}$ is a root of the polynomial $P(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+...+a_n$, then $\left|\,w\right| \leqslant 1$.

ลอง induction แล้ว ติดอยู่ครับ ช่วยแนะนำหน่อย

$\Big(1-\dfrac{1}{z}\Big)P(z)=z^n\Big(a_0+\dfrac{a_1-a_0}{z}+\dfrac{a_2-a_1}{z^2}+\cdots+\dfrac{a_n-a_{n-1}}{z^n}-\dfrac{a_n}{z^{n+1}}\Big)$

ใช้อสมการ $|z_1+z_2+\cdots+z_n|\geq |z_1|-|z_2|-\cdots -|z_n|$

$\Big|(1-\frac{1}{z})P(z)\Big|\geq |z|^n\Big(a_0-\dfrac{|a_1-a_0|}{|z|}-\dfrac{|a_2-a_1|}{|z|^2}-\cdots-\dfrac{|a_n-a_{n-1}|}{|z|^n}-\dfrac{|a_n|}{|z|^{n+1}}\Big)$

ลองพิสูจน์ต่อว่า ถ้า $|z|>1$ แล้ว $|P(z)|>0$

[milch]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\Big(1-\dfrac{1}{z}\Big)P(z)=z^n\Big(a_0+\dfrac{a_1-a_0}{z}+\dfrac{a_2-a_1}{z^2}+\cdots+\dfrac{a_n-a_{n-1}}{z^n}-\dfrac{a_n}{z^{n+1}}\Big)$

ใช้อสมการ $|z_1+z_2+\cdots+z_n|\geq |z_1|-|z_2|-\cdots -|z_n|$

$\Big|(1-\frac{1}{z})P(z)\Big|\geq |z|^n\Big(a_0-\dfrac{|a_1-a_0|}{|z|}-\dfrac{|a_2-a_1|}{|z|^2}-\cdots-\dfrac{|a_n-a_{n-1}|}{|z|^n}-\dfrac{|a_n|}{|z|^{n+1}}\Big)$

ลองพิสูจน์ต่อว่า ถ้า $|z|>1$ แล้ว $|P(z)|>0$

ทำไม่ได้อ่ะครับ T_T

ได้ละครับ ตะกี้ตาถั่วเอง
ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\Big(1-\dfrac{1}{z}\Big)P(z)=z^n\Big(a_0+\dfrac{a_1-a_0}{z}+\dfrac{a_2-a_1}{z^2}+\cdots+\dfrac{a_n-a_{n-1}}{z^n}-\dfrac{a_n}{z^{n+1}}\Big)$

ใช้อสมการ $|z_1+z_2+\cdots+z_n|\geq |z_1|-|z_2|-\cdots -|z_n|$

$\Big|(1-\frac{1}{z})P(z)\Big|\geq |z|^n\Big(a_0-\dfrac{|a_1-a_0|}{|z|}-\dfrac{|a_2-a_1|}{|z|^2}-\cdots-\dfrac{|a_n-a_{n-1}|}{|z|^n}-\dfrac{|a_n|}{|z|^{n+1}}\Big)$

ลองพิสูจน์ต่อว่า ถ้า $|z|>1$ แล้ว $|P(z)|>0$

ต่อให้อีกนิด

ถ้า $|z|>1$ แล้ว $-\dfrac{|a_1-a_0|}{|z|}>-|a_1-a_0|$

ทำอย่างนี้กับทุกเทอมที่มีเครื่องหมายลบ

แล้วก็ใช้เงื่อนไขโจทย์ถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ออกมา ลองดูซิว่าจะได้อะไร