ช่วยคิดโจทย์พีชคณิตด้วยครับ

[กิตติ]

ผมคุ้นๆว่าข้อ10เคยทำแล้ว โจทย์ใกล้เคียง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

มีโจทย์ที่ทำไม่ได้อีกแล้ว

กำหนดให้ $a,b,c \in I^+$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ

$$a^2(b+c)^2 = (3a^2 + a+ 1)b^2c^2$$
$$b^2(c+a)^2 = (4b^2 + b + 1)c^2a^2$$
$$c^2(a+b)^2 = (5c^2 + c + 1)a^2b^2$$

แล้ว $13a+14b+15c$ มีค่าเท่าใด

อีกข้อนะครับ
เห็นว่ามีคนเคยทำมาแล้ว หากระทู้ไม่เจอ
$$\frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{1}{2008}$$

มีกี่คำตอบ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ทำแบบนี้หรือเปล่าครับ
ผมแปลงแบบนี้ $a^2(b+c)^2 = (3a^2 + a+ 1)b^2c^2$
$\frac{a^2(b+c)^2}{b^2c^2} = (3a^2 + a+ 1)$
$(\frac{a(b+c)}{bc})^2 =a^2(\frac{1}{b} +\frac{1}{c})^2= (3a^2 + a+ 1)$
$(\frac{1}{b} +\frac{1}{c})^2= (3+\frac{1}{a} +\frac{1}{a^2} )$
$\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2} = (3+\frac{1}{a} -\frac{2}{bc} )$....(1)
อีกสองสมการทำเหมือนกันจะได้
$\frac{1}{a^2} +\frac{1}{c^2}-\frac{1}{b^2} = (4+\frac{1}{b} -\frac{2}{ac} )$....(2)
$\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}= (5+\frac{1}{c} -\frac{2}{ab} )$....(3)
(1)+(2)+(3); $\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = 12+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) -2(\frac{1}{bc} +\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})$....(4)

จาก$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2= \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(\frac{1}{bc} +\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})$.............(5)
แทน(4)ลงใน(5)
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=12+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
ให้$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) =m$
แก้สมการ$m^2-m-12=0$ได้ค่า$m =4,-3$ โจทย์กำหนดให้$a,bและc$เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น$m$ที่ใช้ได้คือ $4$
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) =4$
ดังนั้น$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=4-\frac{1}{c}$
$(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=4-\frac{1}{a}$
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})=4-\frac{1}{b}$

$(\frac{1}{b} +\frac{1}{c})^2 -\frac{1}{a} -\frac{1}{a^2}= 3$
$(\frac{1}{a} +\frac{1}{c})^2 -\frac{1}{b} -\frac{1}{b^2}= 4$
$(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})^2 -\frac{1}{c} -\frac{1}{c^2}= 5$

นำมาแทนค่าในสามสมการนี้จะได้ว่า
$13a=9 , 14b=9+\frac{1}{3} ,15c=12+\frac{3}{11} $
$13a+14b+15c = 30\frac{20}{33} $.......คิดค่า$b$ผิด...ท่านไซโคลนช่วยเฉลยแล้วครับ ตามนี้ครับ ช่วงนี้สมองเบลอจัดครับ ขออภัยด้วยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

11. ABC เป็นสามเหลี่ยมดังรูป เส้นแบ่งครึ่งมุม BAC พบ BC ที่จุด D ถ้า AB + AD =CD และ AD + AC = BC และ มุม ACB = 20 องศา จงหาขนาดของ มุม ABC

ตามรูปเลยครับ ตอบ 40 องศา

(เป็นโจทย์ของอ. ไมตรี ศรีทองแท้ )

Attachment 5567

[กิตติ]

คำถามส่วนใหญ่มาจากกระทู้ของน้องSiren......กระทู้นี้ครับ
ช่วยหน่อยครับ ขอไม่ถึก ......

ข้อ5....ผมทำแบบนี้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้เล่นเอาปั่นป่วนไปค่อนวัน....เพราะมัวแต่หาค่า$x$จากสมการ หาไปค่อนวันสรุปได้แค่ว่า$x$มากที่สุดคือ5....เพราะแปลงสมการได้$yz=\frac{97(z+1)}{97-19x} $...เมื่อโจทย์กำหนดให้$x,y,z$เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น$yz$ย่อมเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น$\frac{97(z+1)}{97-19x} $ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก เราได้ว่า$97-19x$ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกก่อน จะได้ว่าค่า$x$มากที่สุดคือ$5$ ....$x$จึงเป็นไปได้คือ$1,2,3,4และ5$....ได้เท่านี้แล้วก็ตัน
ลองแปลงพจน์อีกจะได้ว่า$z=\frac{97xy-90}{97+19xy} $
สมมุติให้$m=\frac{97xy-90}{97+19xy} $และ$m$ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ตามค่า$z$...จัดหน้าตาใหม่จะได้ว่า$xy=\frac{97m+90}{97-19m} $ จากตรงนี้$m$ก็ได้ค่าตั้งแต่$1,2,3,4และ5$....ลองแทนค่าลงไปตั้งแต่$1,2,3,4ถึง5$...ไม่มีค่า$xy$ที่เป็นจำนวนเต็มบวก......มึนแล้วครับ จะยอมแพ้อยู่แล้ว นึกได้ว่าเคยทำโจทย์ในหนังสือรวมโจทย์ปราบเซียนคณิตศาสตร์ ของดร.อิทธิ ฤทธาภรณ์ (เรียบเรียง) มีโจทย์ข้อหนึ่งที่ถามว่า $\frac{1}{\Delta } +\frac{1 }{\bigcirc }+\frac{1}{\bigtriangledown } = \frac{1}{12} $.....ก็สอนแนวคิดให้ เลยลองมาแก้โจทย์ข้อนี้...โป๊ะเซะ....ได้ มาลองดูกันครับ

จาก$\frac{19}{97} $.....เรารู้ว่า$19\times 5 =95 =97-2$ ดังนั้นเอา$5$คูณเศษส่วนทั้งบนและล่างก็จะได้ว่า$\frac{19\times 5}{97\times 5} =\frac{97-2}{97\times 5} =\frac{1}{5}-\frac{2}{97\times 5} $
พจน์แรกมาแล้ว แล้วต้องคงพจน์$5$นี้ในพจน์ต่อไป มาดู$\frac{2}{97\times 5}$ เรารู้อีกแล้วว่า$2\times 49 = 98=97+1$ ตอนแรกคิดเอาพจน์ลบกัน แต่คราวนี้คิดเอาพจน์บวกกัน เพราะพจน์$\frac{2}{97\times 5}$มีเครื่องหมายติดหน้าว่าลบเมื่อกระจายเข้าไป ก็จะได้ลบ...ตรงตามที่โจทย์ถาม มากระจายต่อ
$\frac{2 }{97\times 5}=\frac{2\times49 }{97\times 5\times 49}=\frac{97+1}{97\times 5\times 49}=\frac{1}{5\times 49}+\frac{1}{5\times 49\times97} $
จะได้ว่า$\frac{19}{97} =\frac{1}{5}-(\frac{1}{5\times 49}+\frac{1}{5\times 49\times97}) = \frac{1}{5}-\frac{1}{5\times 49}-\frac{1}{5\times 49\times97} $
จะได้ว่า$x=5,y=49และz=97$...$x+y+z=151 ,x+z=102$
$4x+3y+4z=3(x+y+z)+(x+z) =3(151)+102=453+102=555$
ตอบ....$555$
ออกเสียที...5555555555555555555555555555555555
นั่งทำโจทย์แล้วเห็นนิสัยตัวเองชัดๆเลยว่า...ดื้อเพ่ง มันตันมันไม่ได้ก็ยังพุ่งเข้าไปอีกด้วยวิธีเดิม ไม่ยอมถอยออกมาตั้งหลัก นึกดีๆมองโจทย์ให้ชัดๆ แล้วนึกดูว่าในหัวมีองค์ความรู้อะไรที่ช่วยแก้โจทย์ได้บ้าง วิธีหลังใช้เวลานั่งทำไม่ถึง$5$นาทีก็ออก ทั้งที่วิธีเดิมเสียเวลาตั้งค่อนวันไม่ได้คำตอบ

[กิตติ]

ข้อ 6....ตอนนั้นผมทำแบบนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้ผมคิดแบบไม่ใช้สมการ คิดว่า$2008 = 251\times 2^3$ แล้วแปลงมาเป็น
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{3\times 4\times 251} +\frac{1}{3\times 8\times 251} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{5\times 2\times 251} +\frac{1}{5\times 8\times 251} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{9\times 251} +\frac{1}{9\times 8\times 251} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{8\times 252} +\frac{1}{ 8\times 251\times 252} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{4\times 503} +\frac{1}{8\times 251\times 503} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{2\times 1005} +\frac{1}{8\times 251\times 1005} $
ลืมไปครับว่ายังขาดอีก
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{2009} +\frac{1}{2008\times 2009} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{2008\times 2} +\frac{1}{2008\times 2}$

ผมคิดได้$12\times 2 = 24$คำตอบ....ที่ต้องคูณสองเพราะสลับค่ากันได้อีก
เพิ่มเติมครับ...คิดได้ครบแล้วโดยพจน์สุดท้ายได้$x=y=2008\times 2$
รวมทั้งหมดเป็นไปได้ 27 จำนวน ตามที่น้องเฉลยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

15. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มี P เป็นจุดภายใน ทำให้ PA = 20 หน่วย PC = 21 หน่วย ถ้า มุม APC = 150 องศา แล้ว BP เท่ากับกี่หน่วย

ใช้ C เป็นจุดหมุน

หมุนสามเหลี่ยม APC ทวนเข็มนาฬิกา ได้สามเหลี่ยม BP'C เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม APC

ลาก PP' จะได้สามเหลี่ยม CP'Pเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า PP' = 21 และมุม PP'B เป็นมุมฉาก

$BP^2 = 21^2 + 20^2$

$BP = 29 \ $หน่วย

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

3. จงหาคู่อันดับของจำนวนเต็มบวก (x,y) ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$2xy - 4x^2 + 12x - 5y = 5$

$2xy - 4x^2 + 12x - 5y = 5$
$ 4x^2- 2xy - 12x+ 5y+5=0$
$(2x-5)(2x-y-1)=0$
จากโจทย์กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น$2x-5\not= 0$
เหลือแต่กรณี $2x-y-1=0$.....ซึ่งเป็นสมการเส้นตรง ดังนั้นมีคู่อันดับ $(x,y)$ มากมายนับไม่ถ้วนที่สอดคล้องกับ
$2xy - 4x^2 + 12x - 5y = 5$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

12. ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแนบในวงกลมรัศมี 1369 หน่วย และมีวงกลมรัศมี 644 หน่วย แนบในสามเหลี่ยม ABC แล้วจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองอยู่ห่างกันกี่หน่วย
Attachment 5568

อภิมหาถึกเลยครับ ข้อนี้

My_Soln

จะพบว่าความยาวที่โจทย์ต้องการคือ $s=-(R+r)+\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}$ เมื่อ $a=$ด้านประกอบมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $b=$ ฐาน
กำหนดให้ $R=1369,r=644$ หน่วย
จะได้ $r=\frac{2\Delta}{2a+b},R=\frac{a^2b}{4\Delta}\Rightarrow Rr=\frac{a^2b}{4a+2b}...(1),\frac{r}{R}=\frac{(2a-b)b}{2a^2}...(2)$
จาก $(1)$ จะได้ $b=\frac{4arR}{a^2-2Rr}$ เเทนค่าลงใน $(2)$
$$\Leftrightarrow \frac{r}{R}=\frac{(2a^3-8aRr)(4aRr)}{2a^2(a^2-2Rr)^2}=\frac{(a^2-4Rr)(4Rr)}{(a^2-2Rr)^2}$$
$$\Leftrightarrow a^4+(-aRr-aR^2)a^2+(4r^2R^2+16R^3r^2)=0$$
$$\Leftrightarrow a^2=2Rr+2R^2+2R\sqrt{R^2-2Rr}...(*)$$
พิจารณา $4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)$ เเละ $2a+b=\frac{a^2b}{2Rr},2a-b=\frac{2a^2r}{Rb}$
$$\Leftrightarrow s=-(R+r)+\frac{1}{2}\frac{a^2}{R}$$
เเละจาก $(*)$ $$\Leftrightarrow s=-(R+r)+R+r+\sqrt{R^2-2Rr}$$
$$=\sqrt{110889}=333$$

ตกม้าตาย 555+

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

อภิมหาถึกเลยครับ ข้อนี้

My_Soln

จะพบว่าความยาวที่โจทย์ต้องการคือ $s=-(R+r)+\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}$ เมื่อ $a=$ด้านประกอบมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $b=$ ฐาน
กำหนดให้ $R=1369,r=644$ หน่วย
จะได้ $r=\frac{2\Delta}{2a+b},R=\frac{a^2b}{4\Delta}\Rightarrow Rr=\frac{a^2b}{4a+2b}...(1),\frac{r}{R}=\frac{(2a-b)b}{2a^2}...(2)$
จาก $(1)$ จะได้ $b=\frac{4arR}{a^2-2Rr}$ เเทนค่าลงใน $(2)$
$$\Leftrightarrow \frac{r}{R}=\frac{(2a^3-8aRr)(4aRr)}{2a^2(a^2-2Rr)^2}=\frac{(a^2-4Rr)(4Rr)}{(a^2-2Rr)^2}$$
$$\Leftrightarrow a^4+(-aRr-aR^2)a^2+(4r^2R^2+16R^3r^2)=0$$
$$\Leftrightarrow a^2=2Rr+2R^2+2R\sqrt{R^2-2Rr}...(*)$$
พิจารณา $4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)$ เเละ $2a+b=\frac{a^2b}{2Rr},2a-b=\frac{2a^2r}{Rb}$
$$\Leftrightarrow s=-(R+r)+\frac{1}{2}\frac{a^2}{R}$$
เเละจาก $(*)$ $$\Leftrightarrow s=-(R+r)+R+r+\sqrt{R^2-2Rr}$$
$$=\sqrt{97199}$$

ทำไมผมได้คำตอบเป็นเลขตอง อ่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ทำไมผมได้คำตอบเป็นเลขตอง อ่ะครับ

เพราะคุณScylla_Shadow ชอบเลข 3 โดยเฉพาะตอง 3

ใจเย็นๆเดี่๋ยวคุณScylla_Shadow มาเฉลยให้เอง

[จูกัดเหลียง]

ผิดอีก ก็ไม่ทำอีกเเล้วอ่ะครับ ขี้เกียจ
รอฟังเฉลยเลยดีกว่า
เเต่ถ้าตอบ $333$ ก็ใกล้เคียงอ่ะครับ 555+

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

12. ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแนบในวงกลมรัศมี 1369 หน่วย และมีวงกลมรัศมี 644 หน่วย แนบในสามเหลี่ยม ABC แล้วจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองอยู่ห่างกันกี่หน่วย

สงสัยคุณScylla_Shadow คงไม่ว่าง




เอาแบบ ม. ต้นก็แล้วกันนะครับ



ให้จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองอยู่ห่างกัน d หน่วย

$AP \cdot PD = AP \cdot PD$

$(R+d)(R-d) = AP \cdot DC $

$(R+d)(R-d) = AP \cdot 2R \cdot sin a^\circ \ \ \ (สามเหลี่ยม ADC \ \ \frac{DC}{2R} = sin a^\circ ) $

$(R+d)(R-d) = 2R \cdot AP \cdot sin a^\circ $

$ R^2 - d^2 = 2R \cdot r \ \ \ \ (สามเหลี่ยม APQ \ \ \frac{r}{AP} = sin a^\circ )$

$d^2 = R^2 - 2Rr$


แทนค่า R, r จะได้

d = 333

[XCapTaiNX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

อภิมหาถึกเลยครับ ข้อนี้

My_Soln

จะพบว่าความยาวที่โจทย์ต้องการคือ $s=-(R+r)+\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}$ เมื่อ $a=$ด้านประกอบมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $b=$ ฐาน
กำหนดให้ $R=1369,r=644$ หน่วย
จะได้ $r=\frac{2\Delta}{2a+b},R=\frac{a^2b}{4\Delta}\Rightarrow Rr=\frac{a^2b}{4a+2b}...(1),\frac{r}{R}=\frac{(2a-b)b}{2a^2}...(2)$
จาก $(1)$ จะได้ $b=\frac{4arR}{a^2-2Rr}$ เเทนค่าลงใน $(2)$
$$\Leftrightarrow \frac{r}{R}=\frac{(2a^3-8aRr)(4aRr)}{2a^2(a^2-2Rr)^2}=\frac{(a^2-4Rr)(4Rr)}{(a^2-2Rr)^2}$$
$$\Leftrightarrow a^4+(-aRr-aR^2)a^2+(4r^2R^2+16R^3r^2)=0$$
$$\Leftrightarrow a^2=2Rr+2R^2+2R\sqrt{R^2-2Rr}...(*)$$
พิจารณา $4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)$ เเละ $2a+b=\frac{a^2b}{2Rr},2a-b=\frac{2a^2r}{Rb}$
$$\Leftrightarrow s=-(R+r)+\frac{1}{2}\frac{a^2}{R}$$
เเละจาก $(*)$ $$\Leftrightarrow s=-(R+r)+R+r+\sqrt{R^2-2Rr}$$
$$=\sqrt{97199}$$

ไม่แน่ใจนะครับ ว่าแทนค่า R,r ผิดรึเปล่า

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX

ไม่แน่ใจนะครับ ว่าแทนค่า R,r ผิดรึเปล่า

เเทนผิดเเหละครับ 555+
เเต่วิธีคุณ Banker ดีกว่าเยอะ
ปล. เเก้เเล้วนะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mobius

13. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ถ้า P, Q, R เป็นจุดบน AB, BC และ CA ทำให้ AP : PB = BQ : QC =CR : RA = 7 : 8, เส้นตรง AQ, BR และ CP ตัดกันที่ D, E และ F แล้ว พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นกี่เท่าของพื้นที่สามเหลี่ยม DEF

คุ้นๆว่าโจทย์นี้ เคยโพสต์ ข้อสอบ mwit ?


กรณีอัตราส่วนของด้านทั้งสามเท่ากัน ใช้สูตรนี้ครับ
(จำไม่ได้ว่าพิสูจน์ยังไง ตอนนั้นยังหนุ่มๆอยู่ ลุยโจทย์ประเภทนี้แยะ )

$\frac{พื้นที่สามเหลี่ยม ABC }{พื้นที่สามเหลี่ยม DEF} = \frac{m^2+mn+n^2}{(m-n)^2}$



ref : http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=10059


แทนค่า

$\frac{พื้นที่สามเหลี่ยม ABC }{พื้นที่สามเหลี่ยม DEF} = \frac{m^2+mn+n^2}{(m-n)^2}$


$\frac{พื้นที่สามเหลี่ยม ABC }{พื้นที่สามเหลี่ยม DEF} = \frac{8^2+8 \cdot 7+7^2}{(8-7)^2} = 169 \ $ เท่า

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

Attachment 5576

คุ้นๆว่าโจทย์นี้ เคยโพสต์ ข้อสอบ mwit ?


กรณีอัตราส่วนของด้านทั้งสามเท่ากัน ใช้สูตรนี้ครับ
(จำไม่ได้ว่าพิสูจน์ยังไง ตอนนั้นยังหนุ่มๆอยู่ ลุยโจทย์ประเภทนี้แยะ )

$\frac{พื้นที่สามเหลี่ยม ABC }{พื้นที่สามเหลี่ยม DEF} = \frac{m^2+mn+n^2}{(m-n)^2}$



ref : http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=10059


แทนค่า

$\frac{พื้นที่สามเหลี่ยม ABC }{พื้นที่สามเหลี่ยม DEF} = \frac{m^2+mn+n^2}{(m-n)^2}$


$\frac{พื้นที่สามเหลี่ยม ABC }{พื้นที่สามเหลี่ยม DEF} = \frac{8^2+8 \cdot 7+7^2}{(8-7)^2} = 169 \ $ เท่า

วิธีนี้โอเคนะ ของผมใช้ เมเนลอส