Real root

[Mol3ius]

ให้a,bเป็นจำนวนจริง สอดคล้องกับ$ x^4 + ax^3 + bx^2 + ax +1 =0 $ซึ่งมีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อย 1 ราก จงหาค่าต่ำสุดของ$ a^2 + b^2$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mol3ius

ให้a,bเป็นจำนวนจริง สอดคล้องกับ$ x^4 + ax^3 + bx^2 + ax +1 =0 $ซึ่งมีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อย 1 ราก จงหาค่าต่ำสุดของ$ a^2 + b^2$

โจทย์เป็นอย่างนี้จริงๆหรือครับ โจทย์ที่ผมมีคือ

$ x^4 + ax^3 + 2x^2 + bx +1 =0 $

ซึ่งต่างกันนิดหน่อย

[Mol3ius]

อย่างนี้อะครับ มาจาก อ ในค่าย สอวน

[poper]

พหุนามดีกรี 4 จะต้องมีรากจริงเป็นจำนวนคู่ สมมุติมี 2 รากจริง และเป็นรากซ้ำ คือ $\alpha,\beta$
จะได้ $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$
$=x^4-2(\alpha+\beta)x^3+((\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta)x^2-2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+(\alpha\beta)^2=0$
เปรียบเทียบสัมประสิธิ์และแก้สมการจะได้
$a=-2(\alpha+\beta)$
$b=(\alpha+\beta)^2+2$
$a^2+b^2=(\alpha+\beta)^4+8(\alpha+\beta)^2+4=[(\alpha+\beta)^2+4]^2-12$
ดังนั้น $a^2+b^2$ มีค่าต่ำสุดเท่ากับ $-12$
ไม่รู้ถูกรึเปล่า

[Mol3ius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

พหุนามดีกรี 4 จะต้องมีรากจริงเป็นจำนวนคู่ สมมุติมี 2 รากจริง และเป็นรากซ้ำ คือ $\alpha,\beta$
จะได้ $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$
$=x^4-2(\alpha+\beta)x^3+((\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta)x^2-2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+(\alpha\beta)^2=0$
เปรียบเทียบสัมประสิธิ์และแก้สมการจะได้
$a=-2(\alpha+\beta)$
$b=(\alpha+\beta)^2+2$
$a^2+b^2=(\alpha+\beta)^4+8(\alpha+\beta)^2+4=[(\alpha+\beta)^2+4]^2-12$
ดังนั้น $a^2+b^2$ มีค่าต่ำสุดเท่ากับ $-12$
ไม่รู้ถูกรึเปล่า

a , b เป็นจำนวนจริงนะครับ

[poper]

แป่ว....ลืมเช็คคำตอบ
เดี๋ยวลองคิดใหม่ดูครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mol3ius

ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริง สอดคล้องกับ $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax +1 =0$ ซึ่งมีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อย $1$ ราก จงหาค่าต่ำสุดของ $a^2 + b^2$

ให้ $x$ เป็นรากจริงของสมการ สังเกตว่า $x\neq 0$

$x^4+1=|-x^4-1|$

$~~~~~~~~=|a(x^3+x)+bx^2|$

$~~~~~~~~\leq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{(x^3+x)^2+x^4}$

ดังนั้น $a^2+b^2\geq \dfrac{(x^4+1)^2}{x^6+3x^4+x^2}\geq\dfrac{4}{5}$

สมการเป็นจริงเมื่อ $x=1$ หรือ $x=-1$

[Mol3ius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ดังนั้น $a^2+b^2\geq \dfrac{(x^4+1)^2}{x^6+3x^4+x^2}\geq\dfrac{4}{5}$

สมการเป็นจริงเมื่อ $x=1$ หรือ $x=-1$

งงบรรทัดสุดท้ายอะครับ ส่วนคำตอบถูกละครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\dfrac{(x^4+1)^2}{x^6+3x^4+x^2}\geq\dfrac{4}{5}$

สมการเป็นจริงเมื่อ $x=1$ หรือ $x=-1$

ให้ $a=x^2+\dfrac{1}{x^2}$ จะได้ $a\geq 2$

$\dfrac{(x^4+1)^2}{x^6+3x^4+x^2}=\dfrac{a^2}{a+3}$

สมมติว่า $a\geq b$ จะได้

$\dfrac{a^2}{a+3}\geq \dfrac{b^2}{b+3}\Leftrightarrow (a-b)(ab+3a+3b)\geq 0$

ดังนั้น $f(a)=\dfrac{a^2}{a+3}$ เป็นฟังก์ชันไม่ลดบนช่วง $[2,\infty)$

จึงได้ $f(a)\geq f(2)=\dfrac{4}{5}$

[Mol3ius]

ขอบคุณมากครับ