ข้อสอบชิงทุนต่างประเทศปี2554

[noppadon7]

1.Let $f(x)=\frac{1}{1+\left|x\right|}+\frac{1}{1+\left|x-2\right|} $
Find maximum absolute value of $f(x)$
2.Determine this series converge or not $$\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{\ln(\ln n)}}$$
(Hint: $\ln x<\sqrt{x} \forall x>0 $)
3.If $\lim_{n \to \infty} (x_{n}-x_{n-2})=0 $ then $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{n}=0 $
4.Find $f(x)$ satisfy this equation for all $x\geqslant 0$
$$f(x)=\sqrt{\int_{0}^{x}(f(t)^{2}+f'(t)^{2})dt+2011 } $$

ช่วยคิดหน่อยนะครับ

[nooonuii]

1. แยกกรณี

2. ยังคิดไม่ออก

3. ลอกโจทย์มาผิดนิดนึง

4. ยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วหาอนุพันธ์ทั้งสองข้าง

พิสูจน์ให้ได้ว่า $f$ สอดคล้องสมการเชิงอนุพันธ์ง่ายๆสมการหนึ่ง

[noppadon7]

ขอบคุณนะครับบบ
แก้ข้อ3ให้แล้วนะครับบ

[kongp]

ข้อสองก็ใส่ลิมิตสิครับ

[noppadon7]

มันมีวิธีการtest นะครับ แต่ว่าผมไม่รู้ว่าจะให้วิธีไหน

ผมใช้โปรแกรมช่วยอ่าครับ มันบอกว่าลู่ออก

[nooonuii]

คิดว่าใช้ comparison test ครับ แต่ผมยังไม่มีเวลาคิดแบบละเอียด

ปล. ให้อ่าน #4 แบบผ่านๆเหมือนอ่านนิยายครับ

เพราะคงจะไม่ได้สาระอะไรมากจาก username นี้

[kongp]

เป็นการประมาณโดยให้สูตรครับ อยู่ในวิชา Advaced Calculus ระดับมหาลัย ถ้าให้ลึกนะ เพราะทบ. ง่ายๆ ไม่คลุมโจทย์ขึ้นมา หรือเรียกว่า คณิตศาสตร์ขั้นสูง ผมก็ไม่ทราบว่าทำไมเค้าเรียกกันแบบนั้น ทั้งๆ ที่มีโครงสร้างตรรกศาสตร์ และ การให้เหตุผลอุปนัยหรือนิรนัย ผมทิ้งเรื่องนี้ไป 17 ปีแล้ว อยากจะกลับมาศึกษาเหมือนกัน แต่ดูท่าจะยากตำราไม่ค่อยมีในสมัยนี้ ก็เรียกๆ ตามเค้าไป

ส่วนมากจะเจอคณิตศาสตร์แบบช่างที่เป็นสมการ หรือสูตรคณิตศาสตร์ วางขายกันที่เป็นภาษาไทย มีน้อยมาก ส่วนตัวพอรู้แล้วก็เหมือนๆ กันหากมองในมุมนักคณิตศาสตร์ แต่ถ้ามองในมุมแพทย์ หรือ วิศวกรรม หรือ นักวิทยาศาสตร์ประยุกต์ จะพบประเด็นต่างๆ ดีจุดด้อย ประเด็นต่างๆ มากมาย จนบางคนว่าเป็นเรื่องของ Superman ไปซะ คนที่เข้าใจเร็วมีแต่ก็ต้องดูตำราอยู่ดี ปรึกษาผู้รู้คนอื่นเป็นประจำด้วย

ปล. อยากสร้างศาสตร์ใหม่จึงต้องฝัน แม้พยายามอิงเหตุผลให้มากที่สุด ก็ไม่ใช่ว่าทุกคนจะเข้าใจตาม ว่าเป็นความเห็นส่วนตัวไปก็มี

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

คิดว่าใช้ comparison test ครับ แต่ผมยังไม่มีเวลาคิดแบบละเอียด

ปล. ให้อ่าน #4 แบบผ่านๆเหมือนอ่านนิยายครับ

เพราะคงจะไม่ได้สาระอะไรมากจาก username นี้

แต่ก็มีหลายคนใน MC ชอบอ่านนิยายเหมือนกันนะครับ

ดังตัวอย่างจากระทู้เมื่อกี้ที่แวะไปเจอเข้า ใน #3

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=16031

[tani]

ข้อ 2 นะครับ
จาก hint จะได้ $[\ln(\ln{n})]^2 \leq \ln{n}$
ดังนั้น ${(\ln{n})}^{\ln(\ln{n})} \leq n$
ก็จะได้ว่า series ลู่ออก โดย comparison test

[~ArT_Ty~]

Hint เอ้ย เฉลยข้อสุดท้ายหน่อยครับ ไปไม่เป็นจริงๆ TT

คือ ผมลองแทนคำตอบดูแล้วมันไม่จริงอ่ะครับ เลยสงสัยว่าผิดตรงไหนมั้ยอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ noppadon7

4.Find $f(x)$ satisfy this equation for all $x\geqslant 0$
$$f(x)=\sqrt{\int_{0}^{x}(f(t)^{2}+f'(t)^{2})dt+2011 } $$

$\displaystyle f(x)^2=\int_0^x f(t)^2+f'(t)^2\,dt+2011$

$2f(x)f'(x)=f(x)^2+f'(x)^2$

$(f(x)-f'(x))^2=0$

$f(x)=f'(x)$

ดังนั้น $f(x)=ce^x$

แต่ $f(0)=\sqrt{2011}$

จึงได้ $f(x)=\sqrt{2011}e^x$