ผมทำไม่ได้ครับ ช่วยผมด้วย

[laplace]

จงหาค่าของ n ที่ทำให้ ( n+21 )( n - 10 ) ทั้งหมดถอดราก เป็นจำนวนเต็ม

[HankTon]

$n^2+10n+(n-210)$
ทีนี้ก็ให้ $n-210=25$
n= 235 มั้งนะครับ น่าจะถูก

[t.B.]

ข้อนี้มีหลายคำตอบนะครับ

[Noel]

ผมได้ว่า $\displaystyle{n = \frac{i^2+210}{2i+11}}$

ถ้าไม่สนว่า $n$ ต้องเป็นจำนวนเต็มหรือป่าว ก็ตอบเท่านี้เลย แต่ถ้า $n$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ก็จะได้โจทย์เพิ่มอีกข้อนึงว่า

$i$ มีค่าเท่าไหร่ได้บ้าง ที่ทำให้ $\displaystyle{\frac{i^2+210}{2i+11}}$ หารลงตัว

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Noel

$ผมได้ว่า n = \frac{i^2+210}{2i+11}$

ถ้าไม่สนว่า n ต้องเป็นจำนวนเต็มหรือป่าว ก็ตอบเท่านี้เลย แต่ถ้า n ต้องเป็นจำนวนเต็ม ก็จะได้โจทย์เพิ่มอีกข้อนึงว่า

i มีค่าเท่าไหร่ได้บ้าง ที่ทำให้ $\frac{i^2+210}{2i+11}$ หารลงตัว

รบกวนคุณ Noel แสดงการจัดรูปให้ดูได้หรือเปล่าครับ ว่าจัดรูปมาเป็นแบบนี้ได้อย่างไร

[Puriwatt]

ข้อนี้ผมได้คำตอบไม่เหมือน คุณ Noel ครับ

ลองดูวิธีคิดของผมบ้างครับ
เริ่มจากโจทย์กำหนดให้ถอดรากแล้วเป้นจำนวนเต็ม ดังนั้นเมื่อกำหนดให้ $i \in I$
และ กำหนดให้ $ (n + 21).(n - 10) = i^2 $

แล้วจะได้สมการ $ i^2 = n^2 + 11.n -210 = (n + \frac{11}{2})^2 -(\frac{11}{2})^2 -210 $

จัดรูปแบบใหม่ จะได้ $ (n + \frac{11}{2})^2 = i^2 +210 +\frac{121}{4} = \frac{4.i^2 + 961}{4}$

และ จะได้ว่า $ (n + \frac{11}{2}) = \pm \frac{\sqrt{4.i^2 + 961}}{2} $

เมื่อแก้สมการ แล้วจะได้ $n = \frac{\pm \sqrt{4.i^2 + 961} -11}{2} $ ครับ

หมายเหตุ ตอนนี้ผมเริ่มฟื้นความทรงจำเกี่ยวกับทฤษฎีบท และนิยามทางคณิตศาสตร์ได้พอสมควรแล้วครับ
โดยใช้การดูจากแนวคิดต่างๆ ที่น้องๆหลายคนใช้ในการแก้ปัญหา (กะว่าเอาไว้จะสอนลูก)
เช่น Z = a + bi แล้ว $\left|\,Z\right| = \sqrt{a^2 + b^2}$ อันนี้ลืมสนิทจริงๆ

[nooonuii]

สมมติว่า $(n+21)(n-10)=r^2$
จะได้สมการพหุนามกำลังสอง $n^2+11n-(210+r^2)=0$
เนื่องจากพหุนามนี้มีรากเป็นจำนวนเต็ม discriminant จะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้น $11^2+4(210+r^2)=s^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $s$
เราจึงได้สมการ $31^2=(s-2r)(s+2r)$
โดยทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิตเราจะได้ว่า
$s-2r=\pm 1,\pm 31, \pm 31^2 .....(1)$
$s+2r=\pm 31^2, \pm 31, \pm 1.....(2)$

(2)-(1); $4r=\pm 960, 0$ หรือ $r=\pm 240, 0$
ถ้า $r=0$ จะได้ $n=-21,10$
ถ้า $r=\pm 240$ จะได้ $n=235,-246$

ดังนั้น $n=-246, -21, 10, 235$

[Puriwatt]

ขอบคุณ คุณnooonuii มากเลยครับ สำหรับวิธีคิดในกรณีที n เป็นจำนวนเต็ม

ผมขอถามเพิ่มเติม เกี่ยวกับโจทย์ข้อนี้ว่า n ต้องเป็นจำนวนเต็มด้วยหรือไม่?

และ จะรู้ได้อย่างไรในเมื่อโจทย์ไม่ได้กำหนด หรือเป็นข้อตกลง?

ที่ถามก็เพราะว่าอยากรู้จริงๆ และ กำลังทบทวนคณิตศาสตร์ เพื่อเอาไว้สอนลูกๆ ครับ

[laplace]

ขอขอบคุณมากๆๆครับที่ทำให้ผมมีความรู้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ขอบคุณ คุณnooonuii มากเลยครับ สำหรับวิธีคิดในกรณีที n เป็นจำนวนเต็ม

ผมขอถามเพิ่มเติม เกี่ยวกับโจทย์ข้อนี้ว่า n ต้องเป็นจำนวนเต็มด้วยหรือไม่?

และ จะรู้ได้อย่างไรในเมื่อโจทย์ไม่ได้กำหนด หรือเป็นข้อตกลง?

ที่ถามก็เพราะว่าอยากรู้จริงๆ และ กำลังทบทวนคณิตศาสตร์ เพื่อเอาไว้สอนลูกๆ ครับ

โจทย์ไม่ได้ถามหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรอกครับ ถ้าตอบแบบคุณ Puriwatt ก็ถูกต้องแล้วครับ
ที่ผมอนุมานว่าโจทย์ต้องการคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มคงเป็นเพราะความคุ้นเคยมากกว่าครับ เพราะปกติแล้วโจทย์ทั่วไปมักจะถามอย่างนั้น

[Noel]

ขอโทษด้วยนะครับที่ไม่ได้แสดงวิธีไป เพราะกลัวว่าจะผิดแล้วเดี๋ยวคนอื่นเอาไปใช้หน่ะครับ

ส่วนวิธีของผมก็คือ

$(n+21)(n-10) = n^2+11n-210
= n^2-in+(11n-210+in)$
ให้
$11n-210+in = i^2$
$\therefore n = \frac{i^2-210 }{i+11}$

แค่นี้หน่ะครับ ทำตามเท่าที่ความรู้มีหน่ะครับ แฮะๆ

[Mathopolis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สมมติว่า $(n+21)(n-10)=r^2$
จะได้สมการพหุนามกำลังสอง $n^2+11n-(210+r^2)=0$
เนื่องจากพหุนามนี้มีรากเป็นจำนวนเต็ม discriminant จะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้น $11^2+4(210+r^2)=s^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $s$
เราจึงได้สมการ $31^2=(s-2r)(s+2r)$
โดยทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิตเราจะได้ว่า
$s-2r=\pm 1,\pm 31, \pm 31^2 .....(1)$
$s+2r=\pm 31^2, \pm 31, \pm 1.....(2)$

(2)-(1); $4r=\pm 960, 0$ หรือ $r=\pm 240, 0$
ถ้า $r=0$ จะได้ $n=-21,10$
ถ้า $r=\pm 240$ จะได้ $n=235,-246$

ดังนั้น $n=-246, -21, 10, 235$

ช่วยอธิบายตรง

เนื่องจากพหุนามนี้มีรากเป็นจำนวนเต็ม discriminant จะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้น $11^2+4(210+r^2)=s^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $s$

หน่อยครับ
มาจากไหนหรอครับ แล้ว discriminant คืออะไรอ่ะครับ....

[nongtum]

#12
สมการพหุนามกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ มีค่า discriminant เป็น $b^2-4ac$
หากนึกไม่ออกว่ามันมายังไง ลองนึกถึงเวลาเราต้องถอดรากเวลาแก้สมการกำลังสอง (ในกรณีนี้ เราต้องการให้ถอดรากลงตัว) หรือจัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ดูครับ

หมายเหตุ: discriminant เป็นค่าที่ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ซึ่งไม่จำกัดที่พหุนามกำลังสองครับ

[Siwaput]

แล้วทฤษฏีหลักมูลเลขคณิตคืออะไรคับ
แล้ว
$ b^2-4ac=0$
$b^2+4ac=s^2$
อยากทราบตรงนี้คับว่าทราบว่าได้ไงคับ

[คusักคณิm]

ข้อสอบ MWIT 49 เห็นคนถามเยอะ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=6992