Differentiate the system???

[suan123]

xyzue^-uve^v = 2 and x+2y+3z+4u+5v = 6 defines u and v implicitely as continuously differentiable functions of (x,y,z).

Differentiate the system and find the general expression of dv/dx

ไม่เคยทำสามตัวแปรเลยอะครับ ไม่รู้จะดิฟยังไง ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

$xyzue^-uve^v = 2$ and $x+2y+3z+4u+5v = 6$ defines u and v implicitely as continuously differentiable functions of (x,y,z).

Differentiate the system and find the general expression of dv/dx

ไม่เคยทำสามตัวแปรเลยอะครับ ไม่รู้จะดิฟยังไง ช่วยชี้แนะด้วยครับ

วิธีหาไม่มีอะไรมากครับ ใช้ Implicit Differentiation ธรรมดาครับ แต่สมการที่ 1 ถึกไปหน่อย ขออนุญาตใส่ $\ln$ ก่อนดิฟเทียบ $x$ จะได้ว่า

\[ \ln x + \ln y + \ln z + \ln u -u + \ln v + v = \ln 2\]

หาอนุพันธ์ย่อยเทียบ $x$ สองข้างจะได้ ว่า
\[ \frac{1}{x}+ \frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{v}\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \]

หาอนุพันธ์ย่อยเทียบ $x$ สมการที่ 2 ทั้งสองข้างจะได้ ว่า

\[ 1+4\frac{\partial u}{\partial x}+5\frac{\partial v}{\partial x} = 0 \]

เป็นระบบสมการในตัวแปร ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x} }$ ก็แก้ออกมาได้ตามต้องการแล้วครับผม

[suan123]

how to find the general expression of dv/dx? ละครับต้องใช้ jacobian matrix หรือเปล่า หมายถึงในกรณีปรกตอหลายๆ ตัวแปรนะครับ

[nooonuii]

$v$ คือหนึ่งในตัวแปรในโจทย์หริอเปล่าครับ

ถ้าใช่ $\dfrac{dv}{dx}$ น่าจะหมายถึง $\nabla v=(\dfrac{\partial v}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial z})$

ถ้าไม่ใช่ $v$ อาจจะเป็น vector-valued function $v(x,y,z)=(u,v)$
ถ้าแบบนี้ $\dfrac{dv}{dx}$ ก็คือ Jacobian matrix ครับ

[suan123]

functions are defined u and v implicitely as continuously differentiable functions of (x,y,z) around the point P : (x,y,z,u,v) = (2,-1,-1,1,1).

Find the approximation for u in the point where x=2, y=-1 and z=-1.1

ผมหาได้ 0.3125 อะครับ ไม่รู้ถูกเปล่่า รบกวนผู้รู้ช่วยเช็คคำตอบหน่อยครับ