รบกวนถามเรื่อง matrix หน่อยคับ

[prachya]

ผมชะแว๊บไปอ่าน http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra06p04.shtml (ของเว็บเราๆนี่แหละ แหะๆ) ที่บอกว่า สามารถหา matrix [A]¹⁰⁰ ได้โดยไม่ต้องคูณไปร้อยครั้ง กับ.. แก้สมการ A²+A+I = B (matrix B กำหนดให้อะครับ)
เลยอยากทราบว่า วิธีที่ว่ามันคืออารัยหรอครับ???


ข้อ [A]¹⁰⁰
ผมคิดๆไว้ก้อ 1. หา [A]² แล้วคูณตัวมันเองไปเรื่อยๆ ได้ [A]⁴ , [A]⁸ ,... [A]⁶⁴ แล้วคูณ matrix [A]³² ละก้อคูณ [A]⁴ ละก้อ [A]²
ซึ่ง [A]³² , [A]⁴ , [A]² เราทราบแล้ว ระหว่างที่หา [A]⁶⁴ มันก้อน่าจะเร็วขึ้นกว่า คูณไปร้อยครั้ง แต่มันก้อยังช้าอยู่ดีอ่ะครับ
หรือถ้า เป็นไปได้จัดให้อยู่ในรูป matrix
cosq sinq
-sinq cosq โดยอาจจะดึง k ออกมา(ถ้ามันดึงแล้วเข้าฟอร์ม) เพื่อที่ยกกำลัง n จะได้ kⁿ คูณกะ matrix เดิมแต่เป็น nq
แต่จะมีสักกี่ข้อที่ทำลงตัวคับ เงื่อนไขเยอะเหลือเกิน - -"
หรือถ้าคิดเล่นๆต่อก้อ ถ้าให้ matrix A เป็น
[A] ~~~ [A]²
a₁ b₁ ~~ a₂ b₂
c₁ d₁ ~~ c₂ d₂
นะครับ (คีย์เป็น matrix มะเปงอ่าคับ ใช้ LaTeX แล้วมานมะขึ้น >< )
จะได้ a_n = a₁a_n-1+c₁b_n-1
b_n = b₁a_n-1+d₁b_n-1
....... (เจ้านี่คงคีย์ให้คอมคิดมั้งคับ หุหุ รู้สึกมันจะเหมือนกับคูณเองตรงๆนั่นแหละ)
มันก้อมะรู้ว่า มานเหมือนจะเปงความสัมพันธ์เวียนบังเกิด ที่จะหา pattern อย่างง่ายได้ป่าวก้อมะรู้??
ด้วยความรู้ม.5 ของผม ทำได้แค่นี้อะครับ เจ้าเวียนบังเกิดก้ออ่านๆเอาจากเว็บนี้นี่แหละ แต่ยังมะเข้าใจเท่าไร ว่าตามที่สอนทำไมต้องสมมติค่าแบบนั้น (มะทราบเหตุผลอะครับ) เหมือนพี่ที่เขียนบทความจะบอกวิธีคิด แต่มะได้บอกที่มาหงะ พอเจอแบบแปลกๆไปกว่าเดิมก้อเลยทำอะไรมะเปง เป็นแต่ฟอร์มที่พี่เค้าสอนมาซะงั้น >< แล้วบทความก้อมะจบด้วยนี่นา ตัดหายไปเลย แป่ว เลยรู้แค่ฟอร์มเดียวด้วย


ส่วนอีกข้อนึง
A²+A+I = B ผมคงคิดตรงๆ แทน matrix A สมาชิก a b c d แล้วทำมันตรงๆ มันจะออกมา 4 สมการที่ยุ่งๆ เลยมะแน่ใจว่ามีวิธีอื่นปะครับ

ยังไงรบกวนพี่ๆแนะหน่อยละกานคับ เหงแล้วคาจาย

[M@gpie]

เป็นเรื่องของ การแก้สมการแบบเมทริกซ์ครับ สนใจลองศึกษาได้ในหนังสือ
Linear algebra ครับ ซึ่งการแก้สมการรูปแบบดังกล่าวนั้นอยู่ในหัวข้อ ฟังก์ชันของเมทริกซ์จัตุรัสกับการแปลงแบบคล้ายครับ

ส่วนการหาค่า \( A^{100} \) โดยไม่ต้องคูณกัน 100 ครั้งนั้นอยู่ในเรื่องของ
ทฤษฏีบทของเคย์เลย์-เฮลมิลตัน หรือ ใช้เอกลักษณ์ของซิลเวสเตอร์ก็ได้ครับ ซึ่งวิธีการต้องอาศัย eigenvalue และ eigenvector ในการแปลง

หนังสือที่มีเรื่องนี้แน่นอนก้คือ Advance Engineering mathematics ของ C. Ray Wylie ครับ หรือ Erwin Kreyzig ก็น่าจะมีเช่นกัน

[prachya]

งื้อ ขอบคุงครับสำหรับคำตอบ แต่ยังไงรบกวนบอกรายละเอียดคร่าวๆนิสนึงจิครับ คุง M@gpie ให้พอเป็นแนว (ถ้าอธิบายได้มะยากเกินไป) ทฤษฎีที่ว่ามะเคยได้ยินเลย T~T ไว้ยังไงจาลองหาๆดูละกานครับ หนังสือที่ว่า

[M@gpie]

เริ่มจากเราหาค่า eigenvalue ได้จากสมการพหุนาม \( p( \lambda ) = det( A- \lambda I )\) เรียกว่า สมการลักษณะ (characteristic equation)

ทฤษฏีบทของเคย์เลย์ - เฮลมิลตัน คือ เมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์จะสอดคล้องกับสมการลักษณะของเมทริกซ์นั้นๆเสมอ

ตัวอย่างเช่น \( A = \bmatrix{ 1 & 1 \\ 0 & 1}\)
หา eigenvalue ได้จาก \( det \bmatrix{ 1- \lambda & 1 \\ 0 & 1 - \lambda } = 0 \) จะได้สมการ \( \lambda ^2 - 2 \lambda + 1 = 0 \)
โดยทฤษฎีบทของเคย์เลย์-เฮลมิลตันจะได้ว่า \( A^2 - 2A + I = 0 \)
นั่นคือ \( A^2 = 2A - I \) จะเห็นว่า เราสามารถหาค่า \( A^2 \) ได้
ถ้าเราเอา A คูณสองข้างจะได้ \( A^3 = 2A^2 - A = 2(2A-I) - A = 3A - 2I \)
โดยวิธีเดียวกันนี้ จะเห็นว่า \( A^n \) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเมทริกซ์ A ที่มีเลขชี้กำลังไม่เกิน 1 ได้เสมอ โดยไม่ต้องเอา A คูณกัน n ครั้ง

[prachya]

อ่า ขอบคุงมากๆเลยค๊าบผม พี่ๆเก่งกานจัง มะทราบว่าพี่ๆเรียนชั้นไหนกันหรอครับ ในบอร์ดนี้หงะ (ขอนอกเรื่องนิสนึงฮะ ) ทั้งคุง m@gpie , gon , Tummykung , warut ฯลฯ (จำได้แค่ 4 ชื่อคับ ที่เห็นบ่อยมากๆๆ แหะๆๆ)

[M@gpie]

บอร์ดนี้มีทุกชั้นเลยครับ ตั้งแต่ ม. ต้น ม.ปลาย ปริญญาตรี โท เอก หรือ จบแล้ว ก็มี แต่ประถมคงไม่มี ถ้ามีคงได้ออกทีวีแหงเลยคับ อิอิ
ส่วนผม ปริญญาตรีปี 3 คับ

[R-Tummykung de Lamar]

อาจจะใช้ความจริงอันนี้เข้ามาช่วยครับ (สำหรับบางข้อเท่านั้น)

\( \displaystyle{\bigg[ \matrix{1&x\\0&1}\bigg]^n=\bigg[ \matrix{1&nx\\0&1}\bigg]} \)

[nooonuii]

เป็นเรื่องของ similar matrix ครับ

ถ้า A similar กับ B เราสามารถเขียน A = PBP^-1 เมื่อ P เป็น invertible matrix
การประยุกต์ใช้เกี่ยวกับเรื่องนี้คือกรณีที่เราสามารถทำให้ B เป็น diagonal matrix (matrix ที่สมาชิกที่ไม่ได้อยู่ตามแนวเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด) ซึ่ง matrix ชนิดนี้เมื่อนำมายกกำลังมันจะคำนวณได้ง่ายโดยนำสมาชิกตามแนวเส้นทแยงมุมหลักมายกกำลังเท่านั้น
จากนั้นเราก็สามารถใช้เอกลักษณ์

A^k = PB^kP^-1

มาช่วยคำนวณได้
matrix ที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่า diagonalizable matrix
เรื่องนี้จะเกี่ยวโยงกับ eigenvalue และ eigenvector ที่น้อง Mag@pie เล่ามาตรงที่มีทฤษฎีว่า

A จะ diagonalizable ถ้า ทุก eigenvalue ของ A มีค่าแตกต่างกันทั้งหมด ยิ่งกว่านั้นเราสามารถสร้าง matrix B ได้โดยการนำ eigenvalue ของ A มาใส่ตามแนวเส้นทแยงมุมหลัก (ใส่เรียงกันอย่างไรก็ได้) และสร้าง matrix P ได้โดยการนำ eigenvector ที่สัมพันธ์กับ eigenvalue แต่ละค่ามาเรียงต่อกันทีละ column (ต้องเรียงตามลักษณะการเรียงกันของ eigenvalue ใน matrix B)

ตัวอย่างเช่น

\( \Large{ A = \bmatrix{1 & 1 \\ 1 & 1} } \)
\( \Large{ B = \bmatrix{0 & 0 \\ 0 & 2} } \)
\( \Large{ P = \bmatrix{1 & 1 \\ -1 & 1} } \)

จะได้ว่า A = PBP^-1
ดังนั้น \[ \Large{ A^n = PB^{n}P^{-1} = \bmatrix{2^{n-1} & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n-1}} } \]

ซึ่งจะเห็นว่าเป็นจริงจากการคำนวณโดยตรง

ป.ล. A มี eigenvalue คือ 0 และ 2
0 มี eigenvector คือ column แรกของ P
2 มี eigenvector คือ column ที่สองของ P

[prachya]

คิดได้หลายแบบจัง ^-^ ยังไงก้อต้องขอบคุงพี่ๆทุกคนด้วยนะครับผม ที่มาช่วยกันตอบ
ผมม.5 นะพี่ m@gpie แง่บๆ ยินดีที่ได้รู้จักพี่ๆทุกคนฮะ

[gon]

ยังมีอีกหลายคนที่ยังไม่ได้โผล่มาครับ. อย่างคุณ Nongtum ซึ่งตอนนี้ไม่รู้หายไปไหนแล้ว(ติดสอบล่ะมั้ง) หรือ คุณ Passer-by อยากได้คนที่สนุกกับเลขมาเล่นบอร์ดแบ่งปันความคิดเห็นความรู้กันแบบติดแหงกเลยครับ. ส่วนมากจะโผล่มาปุ๊บพอได้ของเสร็จก็หายวั๊บ บางทีเลยต้องแกล้งทิ้งกระทู้ไว้เฉย ๆ ครับ ดูความตั้งใจของคนตั้งด้วย พี่เองก็เริ่มแบ่งพลังลงมาไม่ไหวแล้วครับ. ตอนนี้หัวปั่นทุกวัน ถ้าคนตั้งลงมาคุยอย่างน้องนี่นะ จะมีอารมณ์ดีในการตอบหรือแสวงหาคำตอบให้เลย อุ๊ชักบ่นไปใหญ่

อีกสักหน่อย ๆ ไหน ๆ ก็บ่นแล้ว การตั้งคำถามเป็นศิลปะอย่างหนึ่งครับ. ถ้าคนตั้งรู้หลักในการคุยเดี๋ยวคำตอบลอยมาครับ. พี่ที่อยู่แถว ๆ นี้ใจดีกันทั้งนั้นครับ อะไรที่ไม่รู้ก็จะไปแสวงหามาให้ (เว้นแต่ไม่รู้จริง ๆ เพราะคำถามมันเฉพาะเกินไป หรือไม่คนรู้ก็ไม่โผล่มา) แต่ปัญหาคือ คนตั้งมักจะไม่รู้หลักในการตั้งคำถาม ซึ่งถ้าคนตอบเจอแบบนี้บ่อย ๆ งานกร่อยครับ ตอบเสร็จหายตัว ไม่มาครับสักคำเลย ดูแล้วน่าเศร้าใจเรื่องมารยาทมาก ๆ คนที่ไม่ได้เจอแบบนี้มานานจะไม่เข้าใจครับ. กลับบอกว่าตอบ ๆ ไปเถอะ ยังไงก็มีคนนั่งอ่านอยู่แล้ว

พี่อยู่ในวงการนี้มาก็หลายปีดีดักแล้วครับ. เมื่อก่อนตอนไฟแรงก็อาละวาดช่วยเขาไปทั่วยุทธจักรตอบผิดบ้างตอบถูกบ้าง มั่วบ้าง แต่เดี๋ยวนี้เริ่มปล่อยวางแล้วครับ ไม่ตามไปยุ่งแล้ว เราก็พยายามทำเว็บให้ดีปรับปรุงส่วนต่าง ๆ ทำเป็นตัวอย่างก็ทำให้ดูแล้ว ถ้าวงการคณิตศาสตร์บ้านเราจะรวมคนมาอยู่มาก ๆ ที่เดียวกันไม่ได้ ต้องกระจายไปเว็บโน้นเว็บนี้ ก็ต้องให้มันเป็นอย่างนั้นล่ะครับ. อุ๊ยาวอีกแล้ว ปีหน้าขึ้นเลขสามแล้ว เขาว่าคนแก่มักจะขี้บ่นนี่ท่าจะจริง

[prachya]

อื้มครับ ผมก็เข้าใจนะ พี่ gon เรื่องที่พอได้คำตอบแล้วหายไปเลย ก็น่าน้อยใจอยู่หรอก อย่างน้อยๆก็น่าจะขอบคุณกันบ้าง

ตัวผมเองก็แวะเวียนบอร์ดนี้มานานละแหละครับ แต่ไม่เคยโพสถามหรือตอบอะไรเลย ออกแนวไม่ค่อยกล้า อิอิ แล้วก็ไม่รู้จะถามอะไรด้วย ส่วนใหญ่เลยจะดูแต่ตรง mainpage อะครับ หาบทความน่าสนใจๆอ่าน เพิ่งสมัครล่าสุดตอนที่เมล์ไปถามพี่ พงศ์ทอง แซ่เฮ้ง webmaster (เอ๊ะ หรือเป็นพี่เอ่ย มะรู้หงะ) แล้วก้อปล่อยไก่ตัวเบอเริ่ม แฮ่ๆ ถามพี่เค้าว่าอยากได้ข้อสอบโอลิมปิกไหม พอดีตอนนั้นผมไปสอบมา แต่ผมมะค่อยได้เข้าบอร์ดอะครับเลยมะทราบว่าพี่ๆได้รวมพลังพิชิตโจทย์กันอย่าง...ง่ายดายขนาดนั้น คิคิ

พี่ๆอาจจะมะค่อยเห็นผมโพสสักเท่าไรนะครับ คือ ผมก้อแค่ม.5 อะนะ เจอปัญหาประหลาดๆระดับสูงเกินไปก็จนปัญญา แต่ผมคงมะได้หายไปไหนหรอกนะครับ เพราะผมชอบคณิตศาสตร์มากๆ ตั้งแต่เล็กละหละ แล้วต้องขอบคุณอาจารย์วิชัย ที่ train ผมเมื่อป.5-6 จนผ่านโอลิมปิกสสวท.จนได้ แต่พอขึ้นมามัธยมต้น ผมรู้สึกกร่อยๆอะครับ เหมือนไม่ค่อยได้รับการสนับสนุนทางด้านนี้จากโรงเรียน เลยอาศัยบทความที่โครงการพัฒนาอัจฉริยภาพทางคณิตศาสตร์ ส่งมาให้ แต่พักหลังๆก็กลับส่งวารสารคอม / เคมี มาซะงั้น... แต่ตอนนี้ก็ ok ฮะ ได้เรียนกะอาจารย์กันทิมา (สอนเก่งมากๆคับ ที่ยอแซฟ จารย์คนนี้ต้องยกให้เลย ที่จริงมีอาจารย์สมศรี ที่สวนกุหลาบอีกท่านนะครับ ที่ผมว่าสอนเก่งมากๆ เท่าที่เจอกับตัว) ค่อยรู้สึกดีๆขึ้นมาหน่อยที่ได้รับการสนับสนุนขึ้นมา ซึ่งผมว่าปัญหาของไทย คือการขาดการสนับสนุนทางด้านนี้ด้วยเหมือนกันนะครับ น่าจะมีคนอีกหลายคนที่เสียโอกาสดีๆไปอีกมาก

ส่วนเรื่องที่วงการคณิตศาสตร์จะมารวมอยู่ที่ๆเดียวกัน คงลำบากเหมือนกันหละครับ อย่างที่พี่ว่า แต่ผมก็ชวนเพื่อนๆที่สนใจคณิตมาเว็บนี้บ้างเหมือนกันนะครับ พี่ๆ เพราะรู้สึกว่าพี่ที่นี่เป็นกันเองดี แต่มะก่อนที่เจอเว็บนี้ ผมจะเข้าที่ vcharkarn มากก่าอะครับ แหะๆ เห็นมีโปรๆหลายคนเหมือนกัน มีนักคณิตศาสตร์ที่ต่างประเทศด้วยมั้งคับ มะแน่ใจ (แต่พี่ๆที่นี่ก็มีแวะเวียนไป vcharkarn นี่นา คิคิ)

ปล. เอ.. ผมนี่ชวนคุยจัง แหะๆๆ บ่นเก่งก่าพี่อีกนะ

[nooonuii]

เวบวิชาการดอทคอมก็เข้าไปครับ แต่ไม่ได้ใช้ชื่อนี้ หลังๆเริ่มรู้สึกว่าที่นั่นค่อนข้างจะวุ่นวาย มีเด็กๆเข้าไปเล่นกันเยอะเลยหันมาเล่นเวบนี้เป็นหลัก ยังไงที่นี่ก็อบอุ่นดีครับ มีคนพูดภาษาเดียวกันรู้เรื่องเยอะดี

[TOP]

อืม มีคนตอบไปหมดแล้ว แต่ถ้าน้องยังไม่เข้าใจ ลองไปชะแว๊บ อ่านบทความต่อเนื่องใน เรื่องวุ่นๆของเมตริกซ์ หรือตัวอย่างการประยุกต์ใช้ใน ทฤษฎีเมตริกซ์และการประยุกต์ ได้ครับ

[prachya]

อุ้ย พี่มีอธิบายที่บทความที่ 30 ด้วยหรอเนี่ย พอดีไล่อ่านบทความพี่ๆอยู่อ่ะครับ lecture ไว้ด้วย (ผมประเภทที่ว่า มองผ่านๆแล้วไม่น่ามีอะไรยาก ก็จะไม่ค่อยสนใจอะครับ ซึ่งบางทีที่เราไม่รู้ก็มองผ่านไป ซึ่งคิดว่าไม่ยากอะไร เด๋วนี้เลยกลายเป็นว่าต้องจดๆๆเอา มันจะได้เข้าหัวด้วยแหละ) แต่ยังไม่ถึงบทความนั้น บทความที่พี่ๆเขียนน่าสนใจมากเลยครับ อิอิ บอกตามตรงว่าผมชอบ บทความแบบนี้นะครับ ที่มีบทนำ มีอะไรต่างๆ แล้วใช้คำพูดที่เป็นกันเอง มันไม่เหมือนไปอ่านหนังสือเล่มหนาๆๆ อะครับ หลักการเป๊ะๆ ศัพท์อะไรมะรู้เต็มไปหมด อย่างนี้เหมือนมีเพื่อนๆ หรือ พี่ๆมาสอน มันดูน่าอ่านกว่าเยอะเลย พอดีผมเห็นพี่บอกในบทความว่าว่า "น้องๆคงไม่จำเป็นต้องใช้หรอก" ผมเลยไม่คิดว่าจะมีบทความตรงส่วนนั้นอธิบายต่อ แหะๆๆ

ว่าแต่ที่จริงผมถามอาจารย์เรื่องนี้ไปแล้วนะครับ ก่อนมาถามพี่ๆ แต่ก็บอกอาจารย์ไปแล้วว่าคิดแบบนี้ได้ อาจารย์เค้าก็ไม่ได้นึกถึงวิธีนี้เหมือนกัน แต่อาจารย์เค้าพูดถึงว่า ขอกลับไปดูก่อนว่ามันจะใช้ได้ทุกกรณีรึเปล่า เพราะ มันอิงกับ eigenvalue แล้วยังมี ทฤษฎีบทของเคย์เลย์ - เฮลมิลตันอีก เลยขอกลับไปดูก่อนอีกทีว่ายังไง เท่าที่พี่ๆอธิบายก็ ok (แต่ไม่ได้บอกว่าใช้ไม่ได้นะครับ แค่ขอกลับไปดูก่อน อาจารย์เค้าคงไม่แน่ใจ หรือมีอะไรคาใจอยู่ละมั้งครับ)

อาจารย์เค้าก็บอกนะครับ ว่า งั้น ไหนลองทำให้ดูหน่อย A¹⁰⁰ เนี่ย Aⁿ ด้วยก็ดี ผมก็ทำๆๆตามพี่บอกให้ดูหนะนะ จากตัวอย่างที่พี่ให้มานั่นหละ
ผมได้
A = A
A² = 2A - I
A³ = 3A - 2I
A⁴ = 4A - 3I
A⁵ = 5A - 4I
Aⁿ = nA - (n-1)I

ผมสรุป Aⁿ ว่าอย่างนั้น
แล้วอาจารย์เค้าบอกว่า เท่าที่เราเรียนๆกันมาหนะ คือการมองแนวโน้มของมัน ว่าน่าจะเป็นแบบนี้ แต่เราต้องตรวจสอบด้วย math induction อะไรเนี่ยแหละอีกทีนึง เพื่อให้แน่ใจว่า จะไม่มีพจน์ไหนที่ error เมื่อใช้มัน ผมก็ถามไปนะ(ด้วยความงงนิดๆ ว่ามันเป็นไปได้หรอ มันก็ดูเห็นๆแล้วนี่นาว่าเป็นแบบนั้น)แล้วเป็นไปได้หรอครับ ที่พอหาไปที่พจน์ไกลๆ แล้วมันจะใช้ไม่ได้ อาจารย์เค้าบอกว่ามี เยอะเลยหละ พวกอนุกรมพวกนั้นหนะ ผมก็ถามอีกว่าแล้วตรวจสอบด้วย math induction อะไรเนี่ย ทำยังไง อาจารย์เค้าก็บอกคร่าวๆว่าแทนด้วยพจน์ที่ n กับ n-1 แล้วจัดรูปอะไรออกมาเนี่ยแหละ คือผมงงมากๆอะครับ ไม่เข้าใจตรงส่วนนี้เลย แล้วผมเจออาจารย์เค้าอาทิตย์ละครั้งเอง เค้าเป็นอาจารย์พิเศษหงะ จบปริญญาเอก สอนอยู่มหาลัยมหิดล ผมก็ไม่ค่อยได้เจอคงไม่สะดวกที่จะถามโน่นถามนี่ เลยว่า ยังไงก็ขอรบกวนพี่ๆอีกนิดนึงนะครับ ว่าเจ้า math induction เนี่ย มันทำยังไง แล้วเจ้าอนุกรมหรืออะไรก็ได้ที่พจน์ต้นๆเราหาฟอร์มได้ แต่เมื่อพจน์ไกลๆมันไม่เป็นจริง มันเป็นไปได้ด้วยหรอครับ ผมอยากเห็นตัวอย่างหน่อยอ่ะครับ ด้วยความรู้สึกตอนนี้ไม่อยากเชื่อว่าจะมี (แต่อาจารย์เค้ายืนยันขนาดนั้น แสดงว่ามีแน่ๆแหละครับ) แล้วถ้าเป็นไปได้ ขอทราบเหตุผลที่เป็นอย่างนั้นด้วยก็ดีนะครับ ผมว่ามันน่าจะมีแหละ แหะๆๆ อาจารย์เค้าบอกว่ามันมะมีเหตุผล เป็นความอัศจรรย์ของตัวเลขมั้ง (มุขป่าวเนี่ย ตอบแปลกๆ)

ปล. พี่ m@gpie คับ ผมหา text ที่รร.เจอละ เกี่ยวกับ eigenvalue eigenvactor อะไรพวกนั้นหนะ ขอบคุงมากเลยครับ แต่คนละเล่มกะที่พี่บอกนะคับ แหะๆ

[TOP]

เรามองจากแนวโน้ม เพื่อใช้คาดเดาผลลัพธ์ได้ครับ แต่จะใช้การคาดเดานี้เพื่อเป็นการพิสูจน์ไม่ได้ ตัวอย่างคลาสสิกอันหนึ่งคือ ลำดับต่อไปนี้

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ...

• น้องคิดว่าลำดับตัวถัดไปคืออะไร
• ทำไมจึงคิดว่าลำดับตัวถัดไปต้องเป็นค่านั้น
• เราใช้ประสบการณ์ของเราเป็นที่ตั้งใช่หรือไม่
• หากนำปัญหานี้ไปถามคนแต่ละกลุ่ม ก็จะได้ผลลัพธ์แตกต่างกันออกไปจริงหรือไม่

ปัญหาลักษณะนี้เรานำมาถามกันเอามันได้ครับว่า ใครจะเดารูปแบบของลำดับในใจของอีกคนหนึ่งออก แต่ในทางทฤษฎีแล้วลำดับตัวถัดไปเป็น ได้ทุกตัวเลข ครับ ยกตัวอย่างแบบที่มีรูปแบบง่ายๆเช่นพหุนามละกัน เราอาจจะบอกว่าลำดับนี้สร้างมาจาก พหุนามดีกรี 5 คือ \(f(x) = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \) โดยการแทนค่า \( x = 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \) ลงไปตามลำดับ ก็จะได้ค่าลำดับเป็น \(f(x)\) ออกมา

แต่เนื่องจาก \(f(x)\) มีสัมประสิทธิ์ที่ต้องทราบค่า 6 ตัว เราหาสัมประสิทธิ์ดังกล่าวได้จากการแก้สมการเชิงเส้น 6 ตัวแปร 6 สมการ โดยแทนค่า \( x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) ลงไป และเนื่องจาก \( f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) \) เราทราบค่าแล้ว จึงเหลือเพียง \(f(6)\) เท่านั้นที่เราสามารถกำหนดค่าได้อิสระ ซึ่งก็แสดงให้เห็นว่าลำดับตัวที่ 6 ไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียวเสมอไป

แล้วเราจะมีโอกาสเจอปัญหาที่มีรูปแบบของคำตอบช่วงแรกๆ ตรงกับลำดับข้างต้นหรือไม่ มีครับ เช่น

วงกลมที่มี \(n\) จุดอยู่บนเส้นรอบวง หากเราลากเส้นเชื่อมทุกจุดเข้าด้วยกัน จะแบ่งวงกลมออกเป็นกี่ส่วน ?

ปัญหานี้หากน้องทดลองหาคำตอบ เริ่มจาก \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \) ก็จะได้คำตอบเป็น \(1 , 2 , 4 , 8 , 16\) และนั่นอาจทำให้เราคาดเดาว่าคำตอบทั่วไปคือ \(2^{n-1}\) ทั้งที่ความจริงแล้วคำตอบคือ \({n \choose 4} + {n \choose 2} + 1\)

ดังนั้นเพื่อเป็นการยืนยันคำตอบ เราจึงต้องพิสูจน์ วิธีพิสูจน์ที่นิยมแบบหนึ่งคืออุปนัย (Induction) เพื่อให้มองเห็นภาพง่ายๆจะเปรียบเทียบกับ การล้มโดมิโน คิดว่าน้องๆคงจะเคยนำโดมิโนมาตั้งเรียงแถวยาวๆ แล้วเอานิ้วดันให้โดมิโนตัวแรกล้มลง จากนั้นโดมิโนตัวที่เหลือก็จะล้มตามทั้งหมด วิธีพิสูจน์ให้เห็นจริงว่าโดมิโนจะล้มทั้งแถว (ส่วนจะล้มแบบไหนนั้นเป็นอีกเรื่องหนึ่ง) ทำได้หลายวิธี

1. วิธีง่ายที่สุด เรียกว่า forward induction ทำดังนี้

• พิสูจน์ว่า โดมิโนตัวแรกล้มจริง
• พิสูจน์ว่า เมื่อโดมิโนตัวที่ k ล้มแล้ว จะทำให้โดมิโนตัวที่ k+1 ล้มตามเสมอ (ล้มไปข้างหน้า)

จะเห็นว่า หากเราพิสูจน์ 2 ข้อนี้ได้สำเร็จ การล้มลงของโดมิโนตัวแรกจึงส่งผลต่อการล้มของโดมิโนตัวต่อไปอย่างไม่สิ้นสุด และทำให้พิสูจน์ได้ว่า โดมิโนตัวที่ n ล้มลงเสมอ

2. หรือบางทีเขาคิดว่า อาศัยแรงล้มของโดมิโนตัวเดียว มันยังไม่มากพอ ก็จับโดมิโนมามัดเข้าด้วยกัน แล้วค่อยล้ม เช่น strong induction

• พิสูจน์ว่า โดมิโนตัวแรกล้มจริง
• พิสูจน์ว่า เมื่อโดมิโนตัวที่ 1,2,3, ... , k ล้มแล้ว จะทำให้โดมิโนตัวที่ k+1 ล้มตามเสมอ (ล้มไปข้างหน้า)

3. ในบางครั้งเราอาจพิสูจน์แบบ forward induction ไม่ได้ หรือทำได้ลำบาก ก็มีผู้คิดเทคนิคแบบอื่นเช่น backward induction ทำดังนี้

• พิสูจน์ว่า โดมิโนตัวที่ \(m_i\) ล้มจริง โดย \(m_i\) เป็นลำดับเพิ่มและไดเวอร์จ หรือ \(\displaystyle{\lim_{i \to \infty} m_i = \infty}\)
• พิสูจน์ว่า เมื่อโดมิโนตัวที่ k ล้มแล้ว จะทำให้โดมิโนตัวที่ k-1 ล้มตามเสมอ (ล้มกลับหลัง)

เราอาจดัดแปลงให้สามารถใช้กับการพิสูจน์ของเราได้ แต่สิ่งสำคัญคือเมื่อดัดแปลงแล้ว ต้องแน่ใจว่า ด้วยวิธีนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่า โดมิโนล้มทั้งแถวจริง

ตัวอย่างง่ายๆของการพิสูจน์แบบอุปนัย forward induction ว่า \(1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)
พิสูจน์
ให้ P(k) แทนข้อความ \(1+2+3+\ldots+k = \frac{k(k+1)}{2}\)
i) เห็นได้ชัดว่า P(1) เป็นจริง
ii) สมมติว่า P(k) เป็นจริง (ตรงนี้แค่สมมตินะครับ อย่าไปมองว่าเมื่อเป็นจริงแล้ว ก็ไม่ต้องพิสูจน์ที่เหลือต่อ)
นั่นคือ \(1+2+3+\ldots+k = \frac{k(k+1)}{2}\) เป็นจริง เราจะใช้ความจริงข้อนี้พิสูจน์ให้ได้ว่า P(k+1) จริงด้วย

จาก \(1+2+3+\ldots+k = \frac{k(k+1)}{2}\) บวกด้วย \(k+1\) ทั้งสองข้างจะได้
\(\begin{array}{rcl} 1+2+3+\ldots+k+(k+1) & = & \frac{k(k+1)}{2} + k+1 \\
& = & \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \\
& = & \frac{(k+1)(k+2)}{2} \\
& = & \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}
\end{array}\)
ดังนั้น P(k+1) เป็นจริงด้วย
จาก i และ ii โดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์สรุปได้ว่า P(k) เป็นจริง ดังนั้นข้อความ \(1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}\) จึงเป็นจริงเสมอ

ถ้าน้องมองแนวคิดของการพิสูจน์แบบอุปนัยเข้าใจแล้ว ก็จะพบการสรุปความจริง เริ่มจาก P(1) จริง (ด้วย i) จากนั้นอาศัย ii เหนี่ยวนำจาก P(1) ไปสู่ P(2) ทำให้ P(2) จริงด้วย จากนั้นใช้ ii ซ้ำไปเรื่อยๆ ก็จะทำให้ P(3), P(4), P(5), ... เป็นจริงไปเรื่อยๆ และนั่นก็ทำให้ P(n) ทั้งหมดเป็นจริงด้วย (n เป็นจำนวนนับเท่านั้นนะครับ)

และเมื่อเราเข้าใจแนวคิดของการพิสูจน์แบบอุปนัยแล้ว ก็จะเข้าใจว่าเหตุใดการพิสูจน์แบบอุปนัยในหัวข้อ จงตรวจสอบการพิสูจน์ และ ปัญหารากอนันต์ ของ รามานุชัน จึงใช้ไม่ได้

วิธีพิสูจน์แบบอุปนัยนี้ เป็นการแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของความจริงอันหนึ่ง จากความจริงอีกอันหนึ่งที่รู้ แต่ไม่ได้ตอบคำถามว่า แล้วเจ้า P(k) ที่เป็นผลเฉลย ที่เรากำลังจะพิสูจน์แบบอุปนัยว่าเป็นจริง มันลอยมาจากสวรรค์ชั้นไหน เพราะหลายครั้งได้มาจากการเดา ดังนั้นหากเป็นไปได้ ควรจะตอบคำถามให้ได้ด้วยว่า P(k) นี้มาจากแห่งหนไหน หรือไม่ก็ลองหาแนวคิดอื่นสำหรับพิสูจน์ด้วย จะช่วยให้เรามีแนวคิดแก้ปัญหาใหม่ๆเพิ่มขึ้นด้วย

สำหรับปัญหาเรื่องเมตริกซ์ของน้องก็คือ พิสูจน์ให้ได้ว่า \(A^n = nA - (n-1)I\) โดยใช้อุปนัย และความจริงที่ว่า \( A^2 = 2A - I \)