เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 9 ซูโดอินเวอร์ส

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

Pseudo Inverse Matrix

หวังว่าหลายคน คงจะสามารถหาอินเวอร์สของเมตริกซ์กันได้คล่องแล้ว พอมาเห็นหัวข้อนี้อาจจะสงสัย คำว่า Pseudo แปลว่า ปลอม ดังนั้น Pseudo Inverse Matrix จึงแปลว่าเมตริกซ์อินเวอร์สแบบปลอมๆ ใช่มั้ยหว่า

ก่อนจะพูดถึงเมตริกซ์อินเวอร์สแบบปลอมๆนี้ ก็จะขอพูดถึงเมตริกซ์อินเวอร์สแบบ จริงๆก่อน (ก็แบบเดิมที่เราเข้าใจกันนั่นแหละ)

พิจารณาสมการของเมตริกซ์

\[\begin{array}{rcl} \left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & 5\\ 7 & 11 & 13\\ 17 & 19 & 23\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{r}29\\ 31\\ 37\end{array}\right] \\ ดังนั้นจะได้\ \left[\begin{array}{r}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & 5\\ 7 & 11 & 13\\ 17 & 19 & 23\end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{r}29\\ 31\\ 37\end{array}\right] \end{array}\]

ทีนี้ลองเปลี่ยนโจทย์ของเรากันใหม่เป็น

\[\begin{array}{rcl} \left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & 5\\ 7 & 11 & 13\\ 17 & 19 & 23\\ 29 & 31 & 37\\ 41 & 43 & 47\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{r}53\\ 59\\ 61\\ 67\\ 71\end{array}\right] \\ ดังนั้นจะได้\ \left[\begin{array}{r}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right] & = & \left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & 5\\ 7 & 11 & 13\\ 17 & 19 & 23\\ 29 & 31 & 37\\ 41 & 43 & 47\end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{r}53\\ 59\\ 61\\ 67\\ 71\end{array}\right]\ ง่ายอีกแล้ว ? \end{array}\]

นั่นไง น้องคงจะเริ่มคิดออกแล้วว่า เราไม่สามารถหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ที่ไม่ใช่เมตริกซ์จัตุรัสได้ ถ้าอย่างนั้นเราจะแก้ปัญหาของสมการเมตริกซ์นี้ได้รึเปล่าละ หลายคนอาจสงสัยว่าเราจะมีโอกาสได้แก้สมการเมตริกซ์ลักษณะนี้กันหรือ มีแน่ครับ แต่อดใจไว้ก่อน รออ่านตอนช่วงท้ายๆนะครับ

เราจะเขียนสมการเมตริกซ์ข้างต้นให้อยู่ในรูป

$Ax = y$

โดยที่ $A$ เป็นเมตริกซ์ขนาด $m \times n,\ x$ เป็นเมตริกซ์ขนาด $n \times 1$ และ $y$ เป็นเมตริกซ์ขนาด $m \times 1$ (เรานิยมใช้ตัวพิมพ์เล็กแทนเมตริกซ์ที่มีเพียงหนึ่งแถวหรือหนึ่งคอลัมน์)

เราจะแก้สมการนี้ด้วยวิธีการต่อไปนี้

$A^T Ax = A^T y$ จะพบว่า $A^T A$ เป็นเมตริกซ์จัตุรัสขนาด $m \times m$ ทำให้หาอินเวอร์สของเมตริกซ์ได้แล้ว

$x = (A^T A)^{-1} A^T y$

ดังนั้นเราจะได้อินเวอร์สเมตริกซ์แบบปลอมๆของ $A$ คือ $(A^T A)^{-1} A^T$ (ถ้า $A$ เป็นเมตริกซ์จัตุรัส อินเวอร์สเมตริกซ์แบบปลอมๆนี้จะเท่ากับอินเวอร์สเมตริกซ์ธรรมดาด้วย) pseudo-inverse matrix ในกรณีนี้เป็นแบบด้านซ้าย(เนื่องจากเป็นอินเวอร์สของเมตริกซ์ที่คูณอยู่ด้านซ้าย) ในกรณีที่จะหา pseudo-inverse matrix ของเมตริกซ์ที่คูณอยู่ด้านขวา จะเป็น $A^T (A A^T)^{-1}$

อย่างไรก็ตามคำตอบที่ได้จากการแก้ด้วย pseudo-inverse matrix จะมีความผิดพลาด(ลองแทนค่า $x$ ที่หาได้กลับไปในสมการ จะไม่เท่ากับค่า $y$) ซึ่งต่างจากการแก้ด้วย inverse matrix ในวิธีการปกติ แต่ความผิดพลาดที่เกิดขึ้นนี้จัดว่าเป็นความผิดพลาดที่น้อยที่สุดเท่าที่จะหามาได้แล้วในแง่มุมหนึ่ง(ถ้าสนใจว่าทำไมจึงได้ความผิดพลาดที่น้อยที่สุดแล้ว ก็ลองอ่านต่อไปสิ)

Polynomial Regression

ทีนี้ก็มาถึงเรื่องการนำไปใช้ซะที สมมติว่าน้องทำการทดลองทางฟิสิกส์เพื่อวัดหาค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก และรู้มาว่า

$v(t) = u + g(t)$

โดยที่ $u$ เป็นความเร็วต้น $v$ เป็นความเร็วที่เวลา $t$ ใดๆ และ $g$ เป็นความเร่งที่ต้องการหา จากนั้นทำการทดลองได้ค่าออกมาดังนี้

\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline \rm{Time} & t = 1 & t = 2 & t = 3 & t = 4 & t = 5\\ \hline V(t) & 13 & 25 & 30 & 41 & 51\\ \hline \end{array}\]

เนื่องจากน้องรู้มาว่า มีตัวแปร 2 ตัว ที่ต้องการหา จึงต้องใช้ 2 สมการมาแก้จึงจะสามารถหาคำตอบได้ แต่ข้อมูลที่ได้จาการทำการทดลองนี้สามารถสร้างได้ถึง 5 สมการ แล้วน้องจะทำอย่างไรดีละ(ต้องการแค่ 2 แต่มีให้เลือกถึง 5) ถ้าน้องลองตั้งสมการแล้วแก้ด้วย pseudo-inverse matrix ก็จะได้คำตอบที่มีความผิดพลาดน้อยที่สุด แต่ในที่นี้จะแก้โดยไม่ใช้ pseudo-inverse matrix ให้ดู