เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 6 เอ็ซซิลอน

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

การเปลี่ยนเมตริกซ์ให้อยู่ในรูปของเอ็ซซิลอน

น้องๆหลายคนอาจจะแปลกใจกับคำ “เอ็ซซิลอน” ว่ามันคืออะไร คำ “เอ็ซซิลอน” นี้เป็นชื่อเรียกรูปแบบหนึ่งของเมตริกซ์ที่ถูกลดรูป รูปแบบที่ว่ามีลักษณะดังนี้

1. คอลัมน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของทุกแถวจะมีค่าเป็นหนึ่ง
2. ทุกแถวที่อยู่ใต้คอลัมน์แรกในข้อ 1 เป็นศูนย์เสมอ

ตัวอย่างของเมตริกซ์ที่อยู่ในรูปเอ็ซซิลอนเช่น

\[ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&{\,\,\,4}\\ 0&1&0&{ - 3}\\ 0&0&1&{\,\,\,0}\\ 0&0&0&{\,\,\,1} \end{array}}\right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&4&0&{\,\,6}\\ 0&0&1&7&8&{\,\,0}\\ 0&0&0&0&1&{10} \end{array}}\right]\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}}\right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}}\right] \]

ขอให้สังเกตว่า เมตริกซ์ที่จะจัดให้อยู่ในรูปเอ็ซซิลอนนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นเมตริกซ์จัตุรัส แต่ที่เราจะสอนใช้กันต่อไปนี้จะใช้กับเมตริกซ์จัตุรัสเท่านั้น

รูปแบบของเมตริกซ์ที่อยู่ในรูปเอ็ซซิลอนมีดีตรงไหน ทำไมเราจะต้องไปจัดมันให้อยู่ในรูปดังกล่าวนี้ คงต้องมีคนสงสัยแน่ ถ้าน้องสังเกตให้ดีจะพบว่าเมื่อเรานำรูปแบบดังกล่าวมาใช้กับเมตริกซ์จัตุรัส มันก็เหมือนกับเราพยายามจัดมันให้อยู่ในรูปของเมตริกซ์สามเหลี่ยมนั่นเอง จากสมบัติต่างๆของเมตริกซ์สามเหลี่ยมนี่จะบอกเราเกี่ยวกับเมตริกซ์นั้นอยู่สองอย่างคือ

1. ผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงมุมจะเป็นค่าดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์
2. หากมีแถวใดแถวหนึ่งเป็นศูนย์ทั้งหมด จะทำให้ค่าดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์เป็นศูนย์ เมตริกซ์นี้จะไม่สามารถหาอินเวอร์สได้ หรืออีกนัยหนึ่งหากเมตริกซ์นี้ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นจะทำให้ระบบสมการนี้ไม่มีผลเฉลยนั่นเอง

เริ่มต้นมองประโยชน์ของมันแค่นี้ก่อน แล้วลองทำตามวิธีที่จะว่าต่อไปนี้ หากใช้จนคล่องแล้ว จึงค่อยมาดูกันต่อไปว่าเราสามารถนำเทคนิคนี้ไปใช้ทำอะไรได้อีกเยอะ

เพื่อให้เข้าใจได้ง่าย จะอธิบายโดยการยกตัวอย่างหนึ่งมาให้ดู พร้อมกับบอกขั้นตอนไปด้วยทีละขั้นตอน สมมติว่ามีเมตริกซ์หนึ่งที่เราต้องการเปลี่ยนมันให้อยู่ในรูปเอ็ซซิลอน ดังรูปข้างล่าง

\[ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{\,\, - 2}&0&{\,\,\,7}&{12}\\ 2&4&{ - 10}&6&{12}&{28}\\ 2&4&{\,\, - 5}&6&{ - 5}&{ - 1} \end{array}}\right] \]

1. หาที่ตั้งของคอลัมน์ซ้ายมือสุดซึ่งไม่เป็นศูนย์ทุกตัว

   \[\begin{array}{l} \left[ \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{ccc} & 0 &\\ & 2 &\\ & 2 & \end{array}} \begin{array}{ccccc} 0 & -2 & 0 & 7 & 12\\ 4 & -10 & 6 & 12 & 28\\ 4 & -5 & 6 & -5 & -1 \end{array} \right]\\ \begin{array}{cc} \phantom{0} &\uparrow \end{array} คอลัมน์ซ้ายมือสุดซึ่งไม่เป็นศูนย์ทุกตัว \end{array}\]

2. สับเปลี่ยนแถวบนสุดกับแถวอื่น(ถ้าจำเป็น) จนกระทั่งสมาชิกตัวบนสุดในคอลัมน์นี่กล่าวถึงในขั้นที่ 1 ไม่เป็นศูนย์

   \[ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&{ - 10}&6&{12}&{28}\\ 0&0&{\,\, - 2}&0&{\,\,\,7}&{12}\\ 2&4&{\,\, - 5}&6&{ - 5}&{ - 1} \end{array}} \right] \equiv {R_1}\sim{R_2} \]

3. ถ้าขณะนี้สมาชิกตัวที่อยู่บนสุดของคอลัมน์ที่กล่าวถึงในขั้นที่ 1 คือ $a$ ให้คูณแถวแรกด้วย $\frac{1}{a}$ เพื่อทำให้สมาชิกตัวนั้นเป็นเลข $1$

   \[ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 5}&3&{\,\,\,6}&{14}\\ 0&0&{ - 2}&0&{\,\,\,7}&{12}\\ 2&4&{ - 5}&6&{ - 5}&{ - 1} \end{array}} \right] \equiv \frac{1}{2}{R_1} \]

4. บวกพหุคูณที่เหมาะสมของแถวแรกเข้ากับแถวต่ำลงมาเพื่อทำให้สมาชิกทุกตัวซึ่งอยู่ใต้เลข $1$ นำเป็นศูนย์

   \[ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 5}&3&{\,\,\,\,\,\,6}&{\,\,\,14}\\ 0&0&{ - 2}&0&{\,\,\,\,\,\,7}&{\,\,\,12}\\ 0&0&{\,\,\,5}&0&{ - 17}&{ - 29} \end{array}} \right] \equiv - 2{R_1} + {R_3} \]

5. ต่อไปปิดแถวแรกของเมตริกซ์ไว้แล้วเริ่มต้นขั้นที่ 1 ใหม่กับเมตริกซ์ย่อยที่เหลือ ทำดังนี้ต่อไปเรื่อยๆจนกระทั่งเมตริกซ์อยู่ในรูปเป็นขั้นตามลำดับ

   \[\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & -5 & 3 & \ \ \ \ \ 6 & \ \ \ 14 \end{array}}\\ \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & -2 & 0 & 7 & 12\\ 0 & 0 & 5 & 0 & -17 & -29 \end{array}\\ \end{array} \right]\\ \begin{array}{ccc} \phantom{0} & \phantom{0} &\phantom{+0}\uparrow \end{array} คอลัมน์ซ้ายมือสุดซึ่งไม่เป็นศูนย์ทุกตัวในเมตริกซ์ย่อย \end{array}\]