เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 36 จำนวนเบอร์นูลี

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

จำนวน Bernoulli

\[\begin{array}{lcl} \sum\limits_{k=1}^{n}{k} & = & \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^2} & = & \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^3} & = & \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^4} & = & \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\left(\frac{3n^2+3n-1}{5}\right) \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^5} & = & \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\left(\frac{2n^2+2n-1}{3}\right) \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^6} & = & \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\left(\frac{3n^4+6n^3-3n+1}{7}\right) \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^7} & = & \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\left(\frac{3n^4+6n^3-n^2-4n+2}{6}\right) \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^8} & = & \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\left(\frac{5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3}{15}\right) \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^9} & = & \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\left(\frac{(n^2+n-1)(2n^4+4n^3-n^2-3n+3)}{5}\right) \\ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^{10}} & = & \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\left(\frac{(n^2+n-1)(3n^6+9n^5+2n^4-11n^3+3n^2+10n-5)}{11}\right) \end{array}\]

สามสูตรแรกเป็นผลบวกของเลขกำลังของจำนวนเต็มบวก $n$ จำนวน ที่พวกเราคุ้นเคยกันเป็นอย่างดี น้องๆหลายคนอาจทราบวิธีหาผลบวกของเลขกำลังที่มากกว่า 3 แต่จะมีสักกี่คนที่คิดมองหารูปแบบทั่วไปของสูตรนี้จนสำเร็จ

ในอดีตก็มีนักคณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ศึกษาผลบวกของเลขกำลังเหล่านี้ โดยเฉพาะตระกูล Bernoulli (อีกแล้ว) เมื่อ Jakob Bernoulli เกิดความสำราญใจ ต้องการมองรูปแบบทั่วไปให้ออก เพื่อให้หาผลบวกของเลขยกกำลังใดๆได้โดยง่าย จึงนำสูตรข้างบนมานั่งมอง และแล้ว Jakob Bernoulli ก็คิดได้ว่า แม้สูตรข้างบนจะดูมีรูปแบบบางอย่างที่น่าสนใจ (เช่น $n = 0, -1$ เป็นรากคำตอบของพหุนามเสมอ ในขณะที่ $n = -\frac{1}{2}$ เป็นรากคำตอบเฉพาะผลบวกของเลขกำลังคู่เท่านั้น) แต่เมื่อเป็นผลบวกของเลขกำลังที่สูงขึ้น พหุนามเทอมหลังไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีก จึงเป็นไปได้ว่าการมองสูตรที่จัดในรูปนี้ไม่ช่วยให้ค้นพบคำตอบที่ต้องการ อย่างไรก็ตามหากสังเกตให้ดีจะพบว่า $n=-1$ เป็นรากคำตอบของพหุนามเสมอ แสดงให้เห็นว่าผลรวมสัมประสิทธิ์ของ $n$ ที่เป็นกำลังคี่และกำลังคู่ในพหุนามหนึ่งๆ มีค่าเท่ากันเสมอ Jakob Bernoulli จึงได้คูณกระจายพหุนามทุกตัว แล้วก็นั่งมองหาความสัมพันธ์ของสัมประสิทธิ์อื่นๆต่อไป

กำหนดให้ $P_m (n) = \sum\limits_{k=1}^{n}{k^m} = 1^m + 2^m + \cdots + n^m$ จะได้

\[\begin{array}{rcccccccccccccc} P_0 (n) & = & n & & & & & & & & & & & &\\ P_1 (n) & = & \frac{1}{2} n^2 & + & \frac{1}{2} n & & & & & & & & & & \\ P_2 (n) & = & \frac{1}{3} n^3 & + & \frac{1}{2} n^2 & + & \frac{1}{6} n & & & & & & & & \\ P_3 (n) & = & \frac{1}{4} n^4 & +& \frac{1}{2} n^3 & + & \frac{1}{4} n^2 & & & & & & & & \\ P_4 (n) & = & \frac{1}{5} n^5 & + & \frac{1}{2} n^4 & + & \frac{1}{3} n^3 & - & \frac{1}{30} n & & & & & & \\ P_5 (n) & = & \frac{1}{6} n^6 & +& \frac{1}{2} n^5 & + & \frac{5}{12} n^4 & - & \frac{1}{12} n^2 & & & & & & \\ P_6 (n) & = & \frac{1}{7} n^7 & +& \frac{1}{2} n^6 & + & \frac{1}{12} n^5 & - & \frac{1}{6} n^3 & + & \frac{1}{42} n & & & & \\ P_7 (n) & = & \frac{1}{8} n^8 & + & \frac{1}{2} n^7 & + & \frac{7}{12} n^6 & - & \frac{7}{24} n^4 & + & \frac{1}{12} n^2 & & & & \\ P_8 (n) & = & \frac{1}{9} n^9 & + & \frac{1}{2} n^8 & + & \frac{2}{3} n^7 & - & \frac{7}{15} n^5 & + & \frac{2}{9} n^3 & - & \frac{1}{30} n & & \\ P_9 (n) & = & \frac{1}{10} n^{10} & + & \frac{1}{2} n^9 & + & \frac{3}{4} n^8 & - & \frac{7}{10} n^6 & + & \frac{1}{2} n^4 & - & \frac{3}{20} n^2 & & \\ P_{10} (n) & = & \frac{1}{11} n^{11} & + & \frac{1}{2} n^{10} & + & \frac{5}{6} n^9 & - & n^7 & + & n^5 & - & \frac{1}{2} n^3 & + & \frac{5}{66} n\\ \end{array}\]

ลองมองแล้วคิดตามไปครับ น้องมองเห็นรูปแบบแล้วหรือยัง พอจะเดาออกไหมว่า ถ้าจะหาสูตรของ $P_{11} (n)$ จะได้ออกมาเป็นอะไร

เห็นได้ชัดว่า สำหรับ $P_m (n)$

• เป็นพหุนามที่มีดีกรี $m+1$
• ผลรวมของค่าสัมประสิทธิ์ เป็น 1 เสมอ
• สัมประสิทธิ์ของ $n^{0}$ มีค่าเป็น $0$ เสมอ
• สัมประสิทธิ์ของ $n^{m+1}$ มีค่าเป็น $\frac{1}{m+1}$ เสมอ
• สัมประสิทธิ์ของ $n^{m}$ มีค่าเป็น $\frac{1}{2}$ เสมอ
• สัมประสิทธิ์ของ $n^{m-1}$ มีค่าเป็น $\frac{m}{12}$ เสมอ
• สัมประสิทธิ์ของ $n^{m-2}$ มีค่าเป็น $0$ เสมอ
• สัมประสิทธิ์ของ $n^{m-3}$ มีค่าเป็น $-\frac{m(m-1)(m-2)}{720}$ เสมอ
• สัมประสิทธิ์ของ $n^{m-4}$ มีค่าเป็น $0$ เสมอ
• $\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$

Bingo !!! ว่าแล้ว Jakob Bernoulli ก็มองรูปแบบทั้งหมดออก หากใครต้องการหาความสำราญแบบ Jakob Bernoulli ก็ต้องแก้ปัญหานี้ด้วยตนเอง (Jakob Bernoulli ไม่ได้พิสูจน์สูตรที่เขาค้นพบ) แต่ก่อนอื่น เรามาพิสูจน์ข้อสังเกตข้างต้นกันเถอะ