เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 6 เอ็ซซิลอน

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

• \[ \begin{array}{rl} \left[ \begin{array}{c} \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & -5 & 3 & \phantom{+0}6 & \phantom{+}14 \end{array}}\\ \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & \phantom{+}1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6\\ 0 & 0 & \phantom{+}5 & 0 & -17 & -29 \end{array}\\ \end{array} \right] & แถวแรกในเมตริกซ์ย่อยถูกคูณด้วย -\frac{1}{2} เพื่อจะให้ได้เลข\ 1\ นำ\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{c} \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & -5 & 3 & \phantom{+0}6 & \phantom{+}14 \end{array}}\\ \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & \phantom{+}1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \phantom{+0}1 \end{array}\\ \end{array} \right] & \begin{array}{l} เอา\ -5\ คูณกับแถวแรกในเมตริกซ์ย่อยแล้วนำผลลัพธ์บวกกับ\\ แถวที่สองของเมตริกซ์ย่อยเพื่อทำให้ตัวที่อยู่ใต้เลข\ 1\ นำเป็นศูนย์ \end{array}\\ \\ \\ \left[ \begin{array}{r} \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & -5 & 3 & \phantom{+0}6 & \phantom{+}14\\ 0 & 0 & \phantom{+}1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6 \end{array}}\\ \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & \phantom{+}0 & 0 & \phantom{+}\frac{1}{2} & \phantom{+0}1 \end{array}\\ \end{array} \right] & \begin{array}{l} สองแถวบนสุดของเมตริกซ์ถูกปิดไว้อีก เพื่อเราจะได้เริ่มขั้นที่\ 1\ ใหม่\\ กับเมตริกซ์ย่อยที่เหลือ \end{array}\\ \phantom{[}\begin{array}{rrrrrr} \phantom{0} & \phantom{0} & \phantom{+0} & \phantom{0} & \phantom{+}\uparrow & \phantom{+010} \end{array}\phantom{]} & คอลัมน์ซ้ายมือสุดซึ่งไม่เป็นศูนย์ทุกตัวในเมตริกซ์ย่อย\\ \\ \left[ \begin{array}{c} \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & -5 & 3 & \phantom{+0}6 & \phantom{+}14\\ 0 & 0 & \phantom{+}1 & 0 & -\frac{7}{2} & -6 \end{array}}\\ \begin{array}{rrrrrr} 0 & 0 & \phantom{+}0 & 0 & \phantom{+0}1 & \phantom{+0}2 \end{array}\\ \end{array} \right] & \begin{array}{l} แถวแรก(และแถวเดียว)ในเมตริกซ์ย่อยอันใหม่ถูกคูณด้วย\ 2\ \\ เพื่อให้ได้เลข\ 1\ นำ \end{array} \end{array} \]

ก็เป็นอันว่าเราเปลี่ยนเมตริกซ์ให้อยู่ในรูปดังกล่าวได้แล้ว หลังจากน้องศึกษาและคิดว่าเข้าใจวิธีการดีแล้ว ต่อไปเราจะนำวิธีดังกล่าวนี้มาช่วยในการหาดีเทอร์มิแนนท์ โคแฟกเตอร์เมตริกซ์ แอดจอยต์เมตริกซ์ อินเวอร์สเมตริกซ์และผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นได้อีกด้วย

การหาดีเทอร์มิแนนท์

ในการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ที่ต้องการก็ให้เราเปลี่ยนเมตริกซ์นั้นให้อยู่ในรูปของเอ็ซซิลอนเสียก่อน ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ในรูปนี้คือผลคูณของสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมนั่นเอง แต่อย่าได้นำค่านี้ไปใช้เป็นคำตอบเลยเพราะมันยังไม่สมบูรณ์ทีเดียวนัก หากเราพิจารณาจากสมบัติของดีเทอร์มิแนนท์ข้อหนึ่งที่กล่าวไว้ว่า $\left| {kA} \right| = k\left| A \right|$ และอีกข้อที่กล่าวว่าการสลับแถวคู่ใดคู่หนึ่งจะทำให้ค่าดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ที่ได้ติดลบ ก็จะสามารถตอบได้ว่าค่าดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์นี้คือเท่าใด (ความจริงที่น้องจะพบอีกอย่างหนึ่งในกรณีที่เรานำมันมาใช้กับเมตริกซ์จัตุรัสก็คือ ถ้าพบว่าไม่มีแถวใดแถวหนึ่งที่เป็นศูนย์ทั้งหมด ค่าดีเทอร์มิแนนท์ ของเมตริกซ์ที่อยู่ในรูปนี้คือ 1 ถ้าน้องเอาค่านี้ไปตอบเลยมันก็ไม่ใช่นะสินะ) เรามาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่า

\[ A \mathop{\xrightarrow{\hspace{3cm}}}_{\begin{array}{c}{R_1}\sim {R_2}\\-3R_1 + R_3\\\frac{1}{2}R_2\\3R_2 + R_3\\-5R_3\end{array}} B \]

จากการแปลงเมตริกซ์ดังกล่าวจะได้

\[ \left| A \right| = \left( { - 1} \right)\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( { - 5} \right)\left| B \right| = \left( { - 1} \right)\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( { - 5} \right)\left( 1 \right) = \frac{5}{2} \]

หรือสังเกตง่ายๆว่า ให้นำผลคูณในกรณีที่เราทำการคูณแถวใดแถวหนึ่งแล้วไม่ได้นำไปบวกกับแถวอื่น มาคูณกันทั้งหมด (ในกรณีที่ทำการสลับแถวให้ถือด้วยว่ามีการคูณด้วย -1)

การหาอินเวอร์สเมตริกซ์

การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์นี่ เราใช้การละไว้ในฐานที่ไม่เข้าใจ คล้ายๆกับการหารสังเคราะห์นั่นแหละเพราะจะทำให้มันดูเข้าใจง่ายดี แต่จริงๆแล้วมันมีที่มาที่ไปของมันนะ เรามาดูการละไว้ก่อนเลยละกัน

ถ้าเราต้องการหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ใด ให้เราเขียนเมตริกซ์เอกลักษณ์ไว้ด้านข้างของเมตริกซ์ที่เราต้องการหา จากนั้นทำการแปลงเมตริกซ์เดิมให้กลายเป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ เมตริกซ์เอกลักษณ์ที่วางไว้ด้านข้างนี้จะเปลี่ยนเป็นอินเวอร์สเมตริกส์ได้อย่างน่าอัศจรรย์(ไว้อ่านและทำจนคล่องแล้วเราจะมาดูกันว่ามันเป็นเช่นนี้ได้อย่างไร) ในการแปลงเมตริกซ์ให้เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์นี่เราจะอาศัยวิธีที่ได้สอนไปแล้วนี่แหละ นั่นคือเปลี่ยนอยู่ในรูปเอ็ซซิลอน ยกตัวอย่างให้ดูเลยละกันดังนี้

\[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 4 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 9 & -5 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{rrr} 1 & 4 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 9 & -5 \end{array} \left| \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right.\right] วางเมตริกซ์เอกลักษณ์ไว้ด้านข้าง \]