บทความโดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา
ในทำนองเดียวกัน วิธีหา $K_{nn}$ โดยนำ $(x-a_n)^n$ ไปคูณแล้วหาลิมิตเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a_n$ จะได้
\[\begin{array}{cl} & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_n } \left( {x - a_n } \right)^n F\left( x \right) \\ = & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_n } \frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - a_1 } \right)\left( {x - a_2 } \right)^2 \left( {x - a_3 } \right)^3 \cdots \left( {x - a_m } \right)^m }} \\ = & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_n } \frac{{K_{11} \left( {x - a_n } \right)^n }}{{x - a_1 }} + \frac{{K_{21} \left( {x - a_n } \right)^n }}{{x - a_2 }} + \frac{{K_{22} \left( {x - a_n } \right)^n }}{{\left( {x - a_2 } \right)^2 }} + \cdots + K_{nn} + \cdots \\ & + \frac{{K_{mm} \left( {x - a_n } \right)^n }}{{\left( {x - a_m } \right)^m }} \\ = & K_{nn} \end{array}\]จากวิธีของ Heaviside ที่แนะนำนี้จะพบว่า สามารถหาได้เฉพาะ $K_{nn}$ เท่านั้น หรือหาได้เฉพาะสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนย่อยที่มีกำลังของคำตอบเดียวกันสูงสุดเท่านั้น ดังนั้น $K_{ij}\ ,\ i \ne j$ ต้องหาด้วยวิธีหาจากค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะใช้วิธีการแทนค่า $x$ ที่สะดวกแก่การคำนวณ
ตัวอย่าง 1 $\displaystyle{\frac{{6x + 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}}$
\[\begin{array}{rcl} A & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {\frac{{6x + 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6x + 4}}{{x + 2}} = 2 \\ B & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{{6x + 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{6x + 4}}{x} = \frac{{ - 8}}{{ - 2}} = 4 \end{array}\]
ตัวอย่าง 2 $\displaystyle{\frac{1}{{\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{A}{{3x + 2}} + \frac{B}{{x - 2}}}$
\[\begin{array}{rcl} A & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{2}{3}} \left( {3x + 2} \right)\left( {\frac{1}{{\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right) = \frac{1}{{ - \frac{2}{3} - 2}} = - \frac{3}{8} \\ B & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{1}{{\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right) = \frac{1}{{6 + 2}} = \frac{1}{8} \end{array}\]
ตัวอย่าง 3 $\displaystyle{\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{{Bx + C}}{{x^2 + 2x + 2}}}$
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} \right) = \frac{1}{{1 - 2 + 2}} = 1$
$\displaystyle{\therefore \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{{Bx + C}}{{x^2 + 2x + 2}}}$
ค่า $B\ ,\ C$ หาด้วยวิธีนี้อีกไม่ได้แล้ว ต้องใช้การแทนค่า $x$ และแก้สมการ
\[\begin{array}{lrcll} \textrm{ถ้า } x = 0 \textrm{ จะได้ } & \frac{1}{2} & = & 1 + \frac{C}{2} & \textrm{ จะได้ } C = -1 \\ \textrm{ถ้า } x = 1 \textrm{ จะได้ } & \frac{1}{{10}} & = & \frac{1}{2} + \frac{{B + C}}{5} & \textrm{ จะได้ } B = -1 \end{array}\]
ตัวอย่าง 4 $\displaystyle{\frac{{3x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)^2 }} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 1}} + \frac{C}{{\left( {x - 1} \right)^2 }}}$
\[\begin{array}{rcl} A & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{3x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ C & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 5}}{{x + 1}} = \frac{8}{2} = 4 \end{array}\]ค่า $B$ หาด้วยวิธีนี้ไม่ได้อีกแล้ว ต้องใช้การแทนค่า $x$ และแก้สมการ
ถ้า $x = 0$ จะได้ $5 = A - B + C$ จะได้ $B = - \frac{1}{2}$
ตัวอย่าง 5 $\displaystyle{\frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)^3 }} = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{x + 3}} + \frac{C}{{\left( {x + 3} \right)^2 }} + \frac{D}{{\left( {x + 3} \right)^3 }}}$
\[\begin{array}{rcl} A & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)^3 }} = 1 \\ D & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{1}{{x + 2}} = - 1 \end{array}\]ค่า $B,C$ หาด้วยวิธีนี้ไม่ได้อีกแล้ว ต้องใช้การแทนค่า $x$ และแก้สมการ
\[\begin{array}{lclll} \textrm{ถ้า } x = & 0 & \textrm{ จะได้ } \frac{1}{{54}} & = \frac{1}{2} + \frac{B}{3} + \frac{C}{9} - \frac{1}{{27}} & \textrm{ จะได้ } 3B + C = -4 \\ \textrm{ถ้า } x = & -1 & \textrm{ จะได้ } \frac{1}{8} & = 1 + \frac{B}{2} + \frac{C}{4} - \frac{1}{8} & \textrm{ จะได้ } 2B + C = -3 \end{array}\]$\therefore B = - 1\ ,\ C = - 1$
ตัวอย่าง 6 $\displaystyle{\frac{1}{{\left( {3x^2 + 3x + 1} \right)\left( {8x^2 + 2x + 3} \right)}} = \frac{{Ax + B}}{{3x^2 + 3x + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{8x^2 + 2x + 3}}}$
ค่า $A,B,C,D$ หาด้วยวิธีนี้ไม่ได้ ต้องใช้วิธีการแทนค่า $x$ และแก้สมการ ลองไปทำดูสิ สุดท้ายจะได้
$A = \frac{{54}}{{127}}\ ,\ B = \frac{{57}}{{127}}\ ,\ C = - \frac{{144}}{{127}}\ ,\ D = - \frac{{44}}{{127}}$
การแยกเป็นเศษส่วนย่อยตามการจัดประเภทดังกล่าว ไม่ได้มีหลักการมาจาก การสมมติรูปแบบต่างๆขึ้น แล้วแก้สมการหาค่าสัมประสิทธิ์เหล่านั้นออกมา แต่มันมีที่มาของมันซึ่งเราวิเคราะห์แล้วว่าถูกต้อง เรามาดูตัวอย่างการแยกเศษส่วนย่อยแบบผิดๆซึ่งไม่ได้ตรงกับประเภทใดข้างต้น แต่อาศัยหลักการที่เลียนแบบจากการหาค่าสัมประสิทธิ์ในการหาเศษส่วนย่อยแล้วเกิดความผิดพลาดขึ้น
สมมติว่าเราต้องการแยก $\frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt {x^2 + 1} }}$ เป็นเศษส่วนย่อย โดยอาศัยหลักการมั่วนิ่มจาก วิธีแยกเศษส่วนย่อย ด้วยคิดเอาเองว่าน่าจะแยกได้รูปแบบดังนี้
\[\begin{array}{rcl} \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt {x^2 + 1} }} & = & \frac{A}{{x - 1}} + \frac{{Bx + C}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} \\ A & = & \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 1} \right)\frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt {x^2 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ \therefore \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt {x^2 + 1} }} & = & \frac{1}{{\sqrt 2 \left( {x - 1} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} \end{array}\]ค่า $B,C$ หาโดยการแทนค่า
\[\begin{array}{rcclrcllrcl} \textrm{ถ้า } x & = & 0 & \textrm{ จะได้ } & 0 & = & - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + C & \textrm{ จะได้ } & C = & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \textrm{ถ้า } x & = & -1 & \textrm{ จะได้ } & \frac{1}{2\sqrt{2}} & = & - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - \frac{B}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{2} & \textrm{ จะได้ } & B = & \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{array}\]