เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 6 เอ็ซซิลอน

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

\[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 4 & -3 \\ \vphantom{\frac{1}{1}}0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left| \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}} \right.\right]\ \ \begin{array}{c} -R_1 + R_2\\ -3R_1 + R_3\\ -\frac{1}{2}R_2\\ 3R_2 + R_3 \end{array}\ \ จากนั้นเปลี่ยนเมตริกซ์เดิมให้อยู่ในรูปเอ็ซซิลอน \]

น้องจะพบว่ามันก็ยังไม่เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์นี่ แต่สังเกตให้ดีครับว่ามันเป็นไปแล้วครึ่งหนึ่ง(ครึ่งล่างไงครับ) ก็ให้ทำในทำนองเดียวกันกับครึ่งบนที่เหลือ (หวังว่าคงทำกันได้นะครับก็แค่เปลี่ยนเป็นไล่จากล่างขึ้นบนและจากขวาไปซ้าย)

\[ \left[\begin{array}{rrr} \vphantom{\frac{1}{1}}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \vphantom{\frac{1}{1}}1 \end{array} \left| \style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{rrr} -\frac{19}{4} & -\frac{7}{4} & \frac{5}{2} \\ 2 & 1 & -1 \\ \frac{3}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \end{array}} \right.\right] \begin{array}{l} โอ๊ะโอ เมตริกซ์เอกลักษณ์ที่วางไว้ด้านข้างนี้\\ กลับกลายเป็นอินเวอร์ส เมตริกส์ไปเสียแล้ว \end{array} \]

เป็นไงครับหวังว่าคงยังไม่ท้อไปซะก่อนนะครับ วิธีนี้ถ้าฝึกกันให้คล่องแล้วละก็ ไม่ต้องไปจำและหาโดยใช้วิธีหาไมเนอร์เอย หาโคแฟกเตอร์เอย ให้ยุ่งยากและผิดง่ายมากด้วย ทีนี้มาว่ากันด้วยสาเหตุที่ ทำไมวิธีนี้สามารถหาอินเวอร์สเมตริกซ์ได้ละ น้องสามารถข้ามหัวข้อนี้ไปอ่านเรื่องการหาโคแฟกเตอร์และอื่นๆได้เลยถ้าไม่อยากรู้ที่มาดังกล่าว

เนื่องจากการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเอ็ซซิลอนนี้จะใช้กระบวนการแบบแถวหรือที่เรียกว่า row operation ซึ่งน้องเชื่อหรือไม่ว่ากระบวนการแบบแถวนี้แทนได้ด้วยการคูณของเมตริกซ์ ยกตัวอย่างให้ดูกันเลยดีกว่า เช่น

\[ \begin{array}{cl} \bmatrix{0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0}A_{3\times3} & \begin{array}{l}เป็นการย้ายแถวที่\ 2\ ไปเป็นแถวที่\ 1\ \\โดยแถวที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์หมด\end{array}\\ \bmatrix{0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0}A_{3\times3} & \begin{array}{l}เป็นการย้ายแถวที่\ 1\ ไปเป็นแถวที่\ 2\ \\โดยแถวที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์หมด\end{array}\\ \bmatrix{0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1}A_{3\times3} & \begin{array}{l}เป็นการทำให้เหลือแต่แถวที่\ 3\ เท่านั้น \\โดยแถวที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์หมด\end{array}\\ \begin{array}{c} \\ กรณีทั่วไปคือ\\ \bmatrix{ 0 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & 1_{m,n} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots } \end{array} & \begin{array}{l}เป็นการย้ายแถวที่\ n\ ไปเป็นแถวที่\ m\ \\โดยแถวที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์หมด\end{array} \end{array} \]

เห็นกระบวนการแบบแถวข้างบนแล้ว น้องอาจสงสัยว่า มันไม่ใกล้เคียงกับที่เราใช้เลยนี่นะ ย้ายแถวนิดหน่อยทำให้แถวที่เหลือเป็นศูนย์หมดจะไปมีประโยชน์อะไร เราลองนำเมตริกซ์ทั้งสามอันแรกมารวมกันดูสิว่าเกิดผลลัพธ์อะไรขึ้น

\[ \begin{array}{cl} \bmatrix{0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1}A_{3\times3} & \begin{array}{l}เป็นการรวมกันของเมตริกซ์ทั้งสามด้านบน\\ เพื่อทำให้เกิดกระบวนการสลับที่ของแถวที่\ 1\ และ\ 2\\โดยยังคงแถวที่\ 3\ เอาไว้เช่นเดิม\end{array} \end{array} \]

นั่นไงละเราสลับแถวได้แล้ว ต่อไปเราดัดแปลงเมตริกซ์ที่ได้เล็กน้อย ด้วยการสลับแถวนิดหน่อยและเพิ่มตัวแปร $k$ ลงไป ผลลัพธ์ที่ได้คือ

\[ \begin{array}{cl} \bmatrix{1 & 0 & 0\\k & 1 & 0\\0 & 0 & 1}A_{3\times3} & \begin{array}{l}เป็นการทำ\ k \times R_1 + R_2\end{array} \end{array} \]

เป็นการคูณค่าคงที่แถวหนึ่งแล้วนำไปบวกอีกแถวหนึ่ง เราได้กระบวนการแบบแถวที่ใช้ในการแปลงแบบเอ็ซซิลอนครบแล้วและแต่ละกระบวนการแทนได้ด้วยการคูณ เมื่อนำกระบวนการที่ใช้ทั้งหมดมาเขียนขั้นตอนการหาอินเวอร์สเมตริกซ์จะเป็นดังนี้

\[ \begin{array}{r|l} A & I\\ E_1 A & E_1 I\\ E_2 E_1 A & E_2 E_1 I\\ \cdots & \cdots\\ E_k E_{k-1} \cdots A & E_k E_{k-1} \cdots I\\ I & (E_k E_{k-1} \cdots) I\\ I & A^{-1}I\\ I & A^{-1} \end{array}\\ โดยที่\ E_i\ คือการทำกระบวนการแบบแถวครั้งหนึ่ง \]

การหาโคแฟกเตอร์เมตริกซ์และแอดจอยต์เมตริกซ์

หลังจากที่เราหาดีเทอร์มิแนนท์และอินเวอร์สเมตริกซ์ได้แล้ว การหาโคแฟกเตอร์เมตริกซ์และแอดจอยต์เมตริกซ์ก็ไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป เราใช้ความสัมพันธ์ดังนี้

\[ \begin{array}{rcl} \rm{Adj}(A) & = & \rm{det}(A) \times A^{-1}\\ \rm{Co}(A) & = & \rm{Adj}(A)^T \end{array} \]