Mathcenter Community


เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 11 การหารากที่สอง

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา


การหารากที่สองด้วยการหารยาว

คิดว่าน้องๆหลายคน คงจะมีบางคนได้เคยเรียนการหารากที่สองด้วยการหารยาวมาแล้ว แต่ยังไม่ทราบที่มาที่ไปของมัน หรือบางคนยังไม่เคยเรียนมาก่อน ดังนั้นวันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีการหารากที่สองด้วยการหารยาวกันใหม่

เพื่อให้เห็นเข้าใจได้ง่ายยิ่งขึ้น จะสอนพร้อมกับตัวอย่างของการหารากที่สองของ $315,844$ ดังนี้

  1. ขั้นแรกทำการแบ่งจำนวนที่ต้องการหารากที่สอง เป็นกลุ่มย่อยทุกๆ 2 หลัก โดยเริ่มจากจุดทศนิยมไปทางซ้ายและทางขวา (ในกรณีที่ต้องการหาคำตอบที่ละเอียดถึงทศนิยม จึงจะแบ่งกลุ่มย่อยทุกๆ 2 หลักไปทางด้านขวาของจุดทศนิยม ตัวอย่างเช่น $428,560.076025$ เมื่อแบ่งกลุ่มแล้วจะได้เป็น $42 85 60 . 07 60 25$ )

    จากตัวอย่าง จะแบ่ง $315,844$ ออกได้เป็น 3 กลุ่ม คือ $31 58 44$

  2. หาเลขที่ยกกำลังสองแล้วใกล้เคียงและมีค่าไม่เกินกลุ่มแรกมากที่สุด มาลบค่ากำลังสองของเลขตัวนั้นออกจากกลุ่มแรก

    จากตัวอย่างต้องหา $x$ ซึ่ง $x^2 \approx 31$ จะได้ว่า $5^2 = 25$ ใกล้เคียงกับ $31$ มากที่สุด ($6^2 = 36 > 31$ ใช้ไม่ได้) นำมาเขียนแบบหารยาวได้เป็น

    \[\begin{array}{rl} 5 & \mathop{ \overline{\smash{\Big)} \begin{array}[t]{l} \,31\phantom{0}58\phantom{0}44 \end{array} } }^{\hphantom{\Big)}\,\textstyle{\phantom{0}5\phantom{000000}}}\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\underline{25\phantom{000000}}\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\phantom{0}6 \end{array}\]
  3. ดึงตัวเลขกลุ่มที่สองลงมา หาตัวเลข 1 ตัว มาคูณกับ ผลบวกของตัวเลขนี้กับ $20$ เท่าของผลหารครั้งล่าสุด แล้วได้ค่าไม่เกินจากตัวตั้ง (อาจจำง่ายๆเป็น เอา $2$ มาคูณกับผลหารครั้งล่าสุด จากนั้นหาตัวเลขมาต่อท้ายค่าดังกล่าวแล้วทำให้ผลคูณของมันกับค่าดังกล่าว มีค่าไม่เกินจากตัวตั้ง)

    จากตัวอย่าง ผลหารครั้งล่าสุดคือ $5$ ดังนั้น $20$ เท่าของ $5$ คือ $100$ ต้องหา $x$ ซึ่ง $x(100+x) = x(10x)_{10} \approx 658$ จะได้ว่า $6 (106) = 636$ ใกล้เคียงกับ $658$ มากที่สุด นำมาเขียนแบบหารยาวได้เป็น

    \[\begin{array}{rl} 5 & \mathop{ \overline{\smash{\Big)} \begin{array}[t]{l} \,31\phantom{0}58\phantom{0}44 \end{array} } }^{\hphantom{\Big)}\,\textstyle{\phantom{0}5\phantom{00}6\phantom{000}}}\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\underline{25\phantom{000000}}\\ 106 & \hphantom{\Big)}\,\,\phantom{0}6\phantom{0}58\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\underline{\phantom{0}6\phantom{0}36\phantom{000}}\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\phantom{000}22 \end{array}\]
  4. ทำแบบเดียวกันกับข้อ 3 กล่าวคือ ดึงตัวเลขกลุ่มถัดมาลงมา หาตัวเลข 1 ตัว มาคูณกับ ผลบวกของตัวเลขนี้กับ $20$ เท่าของผลหารครั้งล่าสุด แล้วได้ค่าไม่เกินจากตัวตั้ง

    จากตัวอย่าง ผลหารครั้งล่าสุดคือ $56$ ดังนั้น $20$ เท่าของ $56$ คือ $1120$ ต้องหา $x$ ซึ่ง $x(1120 + x) = x(112x)_{10} \approx 2244$ จะได้ว่า $2 (1122) = 2244$ เท่ากับตัวตั้งพอดี นำมาเขียนแบบหารยาวได้เป็น

    \[\begin{array}{rl} 5 & \mathop{ \overline{\smash{\Big)} \begin{array}[t]{l} \,31\phantom{0}58\phantom{0}44 \end{array} } }^{\hphantom{\Big)}\,\textstyle{\phantom{0}5\phantom{00}6\phantom{00}2}}\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\underline{25\phantom{000000}}\\ 106 & \hphantom{\Big)}\,\,\phantom{0}6\phantom{0}58\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\underline{\phantom{0}6\phantom{0}36\phantom{000}}\\ 1122 & \hphantom{\Big)}\,\,\phantom{000}22\phantom{0}44\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\underline{\phantom{000}22\phantom{0}44}\\ & \hphantom{\Big)}\,\,\underline{\underline{\phantom{0000000}0}} \end{array}\]

    จึงได้ว่ารากที่สองของ $315,844$ คือ $562$

คิดว่าไม่ยากเกินไป ลองนำวิธีนี้ไปหัดใช้หารากที่สองให้คล่อง จะมีประโยชน์มากในกรณีที่ไม่มีเครื่องคิดเลข

ที่มาที่ไป

สำหรับน้องบางคนที่ยังสงสัยอยู่ว่า เอ๊ะทำไมทำแบบที่ว่ามา จึงเป็นการหารากที่สองได้ละ ไม่น่าเชื่อ ความจริงแล้ววิธีนี้ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนมากมาย เพียงแต่เป็นวิธีการหารากที่สองที่มีระบบมีแบบแผนที่ดีนั่นเอง จะลองหาคำตอบด้วยตัวเองก่อนก็ดีนะ