Mathcenter Community


เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 21 เศษส่วนย่อย

บทความโดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา


เศษส่วนย่อย

เศษส่วนย่อยคืออะไร สำหรับน้องที่เคยหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ในชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ต้องเคยทำเศษส่วนย่อยด้วยกันทุกคนแน่ๆ ตัวอย่างเช่น

\[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{1}{n(n+1)}} & = & \displaystyle{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} \\ \displaystyle{\frac{1}{4n^2 - 1}} & = & \displaystyle{\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right)} \end{array}\]

เราทำเศษส่วนย่อยไปเพื่ออะไร นั่นก็แล้วแต่ว่าน้องคิดจะเอาไปใช้ทำอะไรกันได้บ้าง หากนำไปใช้กับอนุกรมก็อาจทำให้เกิดการตัดกันของเทอมที่สองไปจนถึงก่อนเทอมสุดท้ายได้ หากนำไปใช้ในการทำอินทิเกรตก็อาจช่วยให้การอินทิเกรตง่ายขึ้น ฯลฯ

เศษส่วนย่อยที่เราทำกัน แบ่งได้เป็น 4 ประเภทดังนี้

  • ประเภทที่ 1 ส่วนสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้น $(ax+b)$ เมื่อแยกแล้วจะได้เศษส่วนย่อยเป็น

    \[ \frac{A}{a_1 x + b_1} + \frac{B}{a_2 x + b_2} + \frac{C}{a_3 x + b_3} + \cdots \]

    โดยที่ $\frac{b_1}{a_1} \ne \frac{b_2}{a_2} \ne \frac{b_3}{a_3} \ne \cdots$ และ $a_1,a_2,a_3,\ldots \ne 0$

    \[\begin{array}{rcl} \textrm{เช่น } \displaystyle{\frac{x-3}{(2x+1)(x+2)}} & = & \displaystyle{\frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x+2}} \\ \displaystyle{\frac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x^2 + 6x - 27} \right)}}} & = & \displaystyle{\frac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 9} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 9}} + \frac{C}{{x - 3}}}\\ \displaystyle{\frac{{3x^2 + 2x + 3}}{{x\left( {1 - x^2 } \right)}}} & = & \displaystyle{\frac{{3x^2 + 2x + 3}}{{x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{1 - x}} + \frac{C}{{1 + x}}} \\ \displaystyle{\frac{{2x^3 + 2x^2 + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}} & = & \displaystyle{\frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{x - 3}} + \frac{D}{{x + 4}}} \end{array}\]

    โดย $A,B,C,\ldots,Z$ เป็นค่าคงที่ที่เราจะต้องหาออกมาในภายหลัง ตอนนี้เราจะเน้นที่รูปแบบของเศษส่วนย่อยที่ได้ก่อน

  • ประเภทที่ 2 ส่วนสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้น $(ax+b)$ ที่มีการยกกำลัง คือ $(ax+b)^n$ เศษส่วนย่อยที่ได้จะมีกำลังตั้งแต่ $1$ ถึง $n$ ดังนี้

    \[ \frac{{K_1 }}{{ax + b}} + \frac{{K_2 }}{{\left( {ax + b} \right)^2 }} + \frac{{K_3 }}{{\left( {ax + b} \right)^3 }} + \cdots + \frac{{K_n }}{{\left( {ax + b} \right)^n }} \]

    จำนวนเศษส่วนย่อยที่สมมติได้เท่ากับค่าตัวเลขชี้กำลัง (คือตัว $n$)

    \[\begin{array}{rcl} \textrm{เช่น } \displaystyle{\frac{{x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }}} & = & \displaystyle{\frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{\left( {x - 1} \right)^2 }}} \\ \displaystyle{\frac{{2x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x^2 + 2x + 1} \right)}}} & = & \displaystyle{\frac{{2x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)^3 }} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{\left( {x + 1} \right)^2 }} + \frac{C}{{\left( {x + 1} \right)^3 }}} \\ \displaystyle{\frac{{2x - 1}}{{8x^3 + 12x^2 + 6x + 1}}} & = & \displaystyle{\frac{{2x - 1}}{{\left( {2x + 1} \right)^3 }} = \frac{A}{{2x + 1}} + \frac{B}{{\left( {2x + 1} \right)^2 }} + \frac{C}{{\left( {2x + 1} \right)^3 }}} \\ \displaystyle{\frac{{3x^2 + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)^2 }}} & = & \displaystyle{\frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 1}} + \frac{C}{{3x + 2}} + \frac{D}{{\left( {3x + 2} \right)^2 }}} \end{array}\]
  • ประเภทที่ 3 ตัวประกอบของส่วนมีเทอมกำลังสอง $ax^2 + bx + c$ ที่แยกตัวประกอบไม่ได้(มีผลเฉลยเป็นจำนวนเชิงซ้อน) เศษของเศษส่วนย่อยเทอมนี้จะต้องมีรูปเป็น $Mx + N$ จำนวนเศษส่วนย่อยที่สมมติได้จะเท่ากับจำนวนวงเล็บจริงๆ

    \[\begin{array}{rcl} \textrm{เช่น } \displaystyle{\frac{{3x^2 + 2x + 1}} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x^2 + x + 6} \right)}}} & = & \displaystyle{\frac{A}{{x - 1}} + \frac{{Bx + C}}{{x^2 + x + 6}}} \\ \displaystyle{\frac{{3x^2 + 4x + 5}}{{x^4 + 3x^3 + x^2 }}} & = & \displaystyle{\frac{{3x^2 + 4x + 5}}{{x^2 \left( {x^2 + 3x + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x^2 }} + \frac{{Cx + D}}{{x^2 + 3x + 1}}} \\ \displaystyle{\frac{{6x^3 + 3x^2 + x + 1}}{{\left( {x^2 + 4x - 12} \right)\left( {2x^2 + 3x + 5} \right)}}} & = & \displaystyle{\frac{{6x^3 + 3x^2 + x + 1}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {2x^2 + 3x + 5} \right)}}} \\ & = & \displaystyle{\frac{A}{{x + 6}} + \frac{B}{{x - 2}} + \frac{{Cx + D}}{{2x^2 + 3x + 5}}} \end{array}\]
  • ประเภทที่ 4 ตัวประกอบของส่วนมีเทอมกำลังสอง $ax^2 + bx + c$ ที่แยกตัวประกอบไม่ได้และมีการยกกำลัง คือ $(ax^2 + bx + c)^n$ เศษส่วนย่อยที่ได้จะมีกำลังตั้งแต่ $1$ ถึง $n$ ดังนี้

    \[ \frac{{M_1 x + N_1 }}{{\left( {ax^2 + bx + c} \right)}} + \frac{{M_2 x + N_2 }}{{\left( {ax^2 + bx + c} \right)^2 }} + \frac{{M_3 x + N_3 }}{{\left( {ax^2 + bx + c} \right)^3 }} + \cdots + \frac{{M_n x + N_n }}{{\left( {ax^2 + bx + c} \right)^n }} \]

    จำนวนเศษส่วนย่อยที่สมมติได้เท่ากับค่าตัวเลขชี้กำลัง (คือตัว $n$)

    \[ \textrm{เช่น } \frac{{2x^2 + x}}{{\left( {2x^2 + 5x + 7} \right)^2 }} = \frac{{Ax + B}}{{2x^2 + 5x + 7}} + \frac{{Cx + D}}{{\left( {2x^2 + 5x + 7} \right)^2 }} \]