Index
 

ผมตั้งใจว่าจะสร้างกระทู้นี้ไว้เป็นดัชนีสำหรับค้นหาเรื่องสำคัญๆนะครับ เนื่องจากเว็บบอร์ดนี้มีกระทู้เพิ่มมากขึ้นๆ จนผมจดจำได้ไม่หมดแล้ว เวลาจะอ้างอิงของเก่าๆก็หาไม่ค่อยเจอ คำถามส่วนใหญ่ก็ซ้ำๆ ผมเลยคิดสร้าง index โดยผมจะค่อยๆสะสมไปตามแต่โอกาสจะอำนวย และผมขออนุญาต edit กระทู้นี้ให้กระชับที่สุดนะครับ

เมื่อคลิกลิ้งค์ประเภทที่ชี้ไปที่ข้อความโดยตรง หลังจากที่ browser แปลงสัญลักษณ์ LaTeX เสร็จแล้ว สิ่งที่เห็นบนหน้าจออาจไม่ตรงกับข้อความนั้น (เพราะถูกดันไปข้างล่าง) ให้คลิกที่ส่วน address (URL) แล้วกด Enter อีกครั้ง (หรือจะกดปุ่มลูกศรสีเขียวใน Firefox แทนก็ได้) จะทำให้ข้อความนั้นเลื่อนกลับมาตรงหน้าจอครับ

เมื่อตามลิ้งค์ที่อยู่ใน index นี้ไปอ่านข้อความนั้นๆแล้ว ควร browse ข้อความที่อยู่ใกล้เคียง โดยเฉพาะอันที่อยู่ถัดๆไปด้วย เพราะบางทีมันยังมีข้อมูลที่เกี่ยวข้องกันอยู่ครับ

Algebraic Equations
 

บทความเรื่อง การแก้สมการกำลังสาม, สี่ โดยคุณ TOP

Cubic Equations

ข้อมูลเกี่ยวกับ discriminant ของสมการกำลังสาม

ตัวอย่างคำตอบของสมการกำลังสามที่มีรากจริงรากเดียว (สำหรับใช้เช็คว่าแก้เป็นแล้วยัง)
สมการ $x^3-2x^2+46x-115=0$ โดยคุณ gon's Mathematica
สมการ $x^3+4x^2+6x+13=0$
สมการ $x^3+3x-1=0$
สมการ $40x^3+9x^2-540x-2808=0$
สมการ $2x^3+x^2-1=0$, $x^3-8x^2+26x-32=0$, $x^3-8x^2+40x-64=0$, $x^3+8x^2+176x-1024=0$

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสามที่มีรากจริง 3 ราก (casus irreducibilis)

สูตรการแก้สมการกำลังสามที่มีรากจริง 3 ราก โดยคุณ gon

Quartic Equations

ตัวอย่างสมการกำลังสี่ที่สามารถแก้ได้ง่ายๆ
สมการ $6x^4-25x^3+12x^2+25x+6=0$ โดยคุณ M@gpie
สมการ $x^4+(2-x)^4=34$ โดยคุณ M@gpie
สมการ $(x - 7)(x - 6)(x - 5)(x + 4) = 504$ โดยคุณ R-Tummykung de Lamar

ตัวอย่างคำตอบของสมการกำลังสี่ โดยคุณ Mastermander's Mathematica

Higher-Degree Equations

ตัวอย่างสมการกำลังสูงกว่าสี่ที่สามารถแก้ได้ง่ายๆ
สมการ $(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$ โดยคุณ M@gpie
สมการ $x^7+(2 - x)^7=8(7x^2 - 14x + 16)$ โดยคุณ M@gpie

Diophantine Equations
 

Pell's equation: $x^2-Dy^2=1\quad$ เมื่อ $ x,y\in\mathbb N$
คำตอบในกรณี $D=47,61,4729494$ โดยคุณ TOP
การแก้ในกรณี $D=2$ โดยคุณ Catt
การแก้ในกรณี $D=48$ โดยคุณ passer-by (ดูที่ข้อ 1 ตอนที่ 2)
การแก้ในกรณี $D=61$ โดยคุณ coffee

การแก้สมการ $y^3=x^3+8x^2-6x+8$ เมื่อ $x,y\in\mathbb N$

การแก้สมการ $y^2=x^3+7$ เมื่อ $x,y\in\mathbb N$

การแก้สมการ $x^3-y^3=2005(x^2-y^2)$ เมื่อ $ x,y\in\mathbb N$ โดยคุณ gools

การแก้สมการ $x^2+y^2=2xy^3$

การแก้สมการ $4(x+y+z)=xyz$ เมื่อ $x,y,z\in\mathbb N$ โดยคุณ gools

การแก้สมการ $x^3+3y^3+9z^3=9xyz$ เมื่อ $x,y,z\in\mathbb Q$ โดยคุณ nooonuii

การแก้สมการ $x^3+y^3+z^3=500$ เมื่อ $x,y,z\in\mathbb Z$

การแก้สมการ $x_1^4+x_2^4+\dots+x_{14}^4=1599$ เมื่อ $x_1,\dots, x_{14}\in\mathbb N$

การแก้โจทย์ $\dfrac{x^3+1}{xy-1}\in\mathbb N$ เมื่อ $x,y\in\mathbb N$

การแก้โจทย์ $\dfrac{x^2-2}{2y^2+3}\in\mathbb Z$

การแก้สมการ $2^x-3^y=7$ โดยคุณ Catt

การแก้สมการ $7^x-3^y=4$

การแก้สมการ $3^x-5^y=2$ โดย pengshi

การแก้สมการ $2^x+3^y=z^2$

การแก้สมการ $4^x+4^y+4^z=u^2$ เมื่อ $x,y,z,u\in\mathbb N$ โดย Arne

การแก้สมการ $x^y=y^x$ โดยคุณ Mastermander

การแก้สมการ $x!+y!=z!$

การแก้สมการ $x!+48=48(x+1)^y$ โดยคุณ Char Aznable (ดูที่ข้อ 3)

การแก้ระบบสมการ $x+y+z=x^3+y^3+z^3=3$ เมื่อ $ x,y,z\in\mathbb Z$

การแก้ระบบสมการ $x^2+3y=u^2$ และ $y^2+3x=v^2$ เมื่อ $x,y,u,v\in\mathbb N$

การแก้ระบบสมการ $a^2+b^2=c^2$ และ $b^2+c^2=d^2$ เมื่อ $a, b, c, d\in\mathbb N$

การแก้ระบบสมการ $x^6+x^3+x^3y+y =147^{157}$ และ $x^3+x^3y+y^2+y+z^9 =157^{147}$ เมื่อ $ x,y,z\in\mathbb Z$

parametric solution ของ $x^2+y^2=z^3$ เมื่อ $x,y,z\in\mathbb N$

parametric solution ของ $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ เมื่อ $x,y,z\in\mathbb Z$ โดยคุณ nooonuii

parametric solution ของ $z^2=(x^2+a)(y^2+a)-(x+y)$ เมื่อ $x,y,z\in\mathbb N$ และ $a\in\mathbb N$ เป็นค่าคงที่

$p,q,r$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

การแก้สมการ $p^3=p^2+q^2+r^2$

การแก้สมการ $p^n+q^n=r^n$ เมื่อ $n\ge2$

การแก้สมการ $p^n+p^{n-1}+ \dots +p+1 = q^2+q+1$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคู่ โดยคุณ kartoon

การแก้สมการ $(p-1)!+1=p^n$ โดยคุณ kartoon

Irrational Numbers
 

บทความเรื่อง จำนวนอตรรกยะ โดยคุณ gon

การพิสูจน์ว่า $\pi$ และ $\pi^2$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

การพิสูจน์ว่า $\pi<\frac{22}{7}$

การพิสูจน์ว่า ถ้า $\cos a\pi=\frac13$ แล้ว $a$ เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยคุณ -*-

การพิสูจน์ว่า ถ้า $\alpha$ เป็นรากจริงของ $x^3+2x^2+10x-20=0$ แล้ว $\alpha^2$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

การพิสูจน์ว่า $\sin n$ ($n\in\mathbb N$) เป็น transcendental number (เทคนิคนี้ใช้กับฟังก์ชันตรีโกณอื่นๆ และ $n\ne0$ เป็น algebraic number ได้ด้วย)

ข้อมูลเกี่ยวกับ $e^{\pi\sqrt{163}}$

Prime Numbers
 

การพิสูจน์ว่า มีจำนวนเฉพาะในรูป $4k+3$ อยู่เป็นอนันต์ โดยคุณ passer-by

การพิสูจน์ว่า มีจำนวนเฉพาะในรูป $8k+5$ อยู่เป็นอนันต์

การพิสูจน์ว่า มีจำนวนเฉพาะในรูป $nk+1$ อยู่เป็นอนันต์ เมื่อ $n\in\mathbb N$ โดยคุณ nooonuii

Systems of Algebraic Equations
 

การแก้ระบบสมการ

$x+y+z=6$
$xy+yz+zx=11$
$xyz=6$

โดยคุณ R-Tummykung de Lamar

การแก้ระบบสมการ

$x^2+2yz=zx$
$y^2+2zx=xy$
$z^2+2xy=yz$

โดยคุณ nooonuii

การแก้ระบบสมการ

$x+xy+xyz=12$
$y+yz+yzx=21$
$z+zx+zxy=30$

โดย Farenhajt

การแก้ระบบสมการ

$ax+a^2y+a^3z+a^4w=1$
$bx+b^2y+b^3z+b^4w=1$
$cx+c^2y+c^3z+c^4w=1$
$dx+d^2y+d^3z+d^4w=1$

Recurrence Relations
 

บทความเรื่อง เวียนบังเกิด โดยคุณ gon

Linear

คำตอบของสมการ $a_n+2a_{n-2}+a_{n-4}=0$ เมื่อ $a_0=0, a_1=1, a_2=2, a_3=3$ (ดูที่ข้อ 3)

โจทย์: จงแสดงว่าส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของ $(5+\sqrt{21})^n+1$ หารด้วย $2^n$ ลงตัว

โจทย์: Let $b_n$ be the number of integers whose digits are all $1,3,4$ and whose digits sum to $n$. Prove that $b_n$ is a perfect square when $n$ is even.

Nonlinear

โจทย์: For each positive integer $c$, the sequence $u_n$ of integers is defined by $$u_1=1, u_2=c, \quad u_n=(2n + 1)u_{n-1} - (n^2-1)u_{n-2}, \quad (n\ge3).$$ For which values of $c$ does this sequence have the property that $u_i$ divides $u_j$ whenever $i\le j$? โดยคุณ Punk

Unsolved Problems in Number Theory in Mathcenter
 

ผมจะค่อยๆรวบรวมโจทย์ number theory ที่น่าสนใจแต่ยังไม่มีใครทำ (ไม่จำเป็นต้องแปลว่ายาก) ไว้ที่นี่นะครับ เผื่อมีใครสนใจที่จะกลับไปจัดการซะ

โจทย์: Let $x_{n+1}=ax_n+b$, $n\ge1$. Prove that the sequence $\{x_n\}$ contains infinitely many composite numbers for each positive integers $a,b,x_1$.

โจทย์: จงใช้ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดหาผลเฉลยของจำนวนสตริงเลขฐานสามความยาว $n$ ที่ไม่มีตัวเลขที่ติดกันเหมือนกัน (ดูที่ข้อ 2)

ผมขอแบ่งพื้นที่่กระทู้นีู้้นิดนึง ไว้รวบรวม Integration tricks เพื่อให้ง่ายต่อการค้นหาในอนาคตนะครับ

LINK(1)
LINK(2)
LINK(3)
LINK(4)
LINK(5)

1. Use $\int_0^a f(x)\,\, dx =\int_0^a f(a-x) \,\, dx $
LINK(1) #12,13,16,26,29
LINK(2) #1,2,58,59,176

2. Use series and uniform convergence
LINK(1) #60
LINK(2) #24,25,155

3. Convert simple integral to double integral
LINK(2) #115
LINK(3) #43

4. Introduce new variable and solve simple ODE
LINK(2) #116,119
LINK(3) #31,35

5. Graph and different perspective of function
LINK(1) #21,24
LINK(2) #4,6,7,11
LINK(5) #1,14

6.Integral involving Sterling's formula and Euler-Mascheroni constant $(\gamma)$
LINK(4) #32,33,34,55,61,62

Limits
 

นิยาม

Stolz-Cesàro Theorem และการพิสูจน์ว่า ถ้า $a_1 = 1$ และ $a_{n+1} = \sqrt{a_1 + a_2 + \dots + a_n}$ แล้ว $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{2}$$

การพิสูจน์ว่า ถ้า $\{a_n\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก และ $\lim_{n\to\infty} a_n=0$ แล้ว $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_1 + \sqrt{2}a_2 + \cdots + \sqrt{n}a_n}{1 + \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{n}} =0$$